Définitions

On se place comme toujours dans ce chapitre dans le cadre d'un espace affine euclidien de dimension finie A et d'espace directeur E.
Soit F une variété linéaire de A de sous espace directeur F.
Soit G, le sous-espace de E orthogonal de F, G= F.
Soit enfin G l'unique variété linéaire passant par M et de direction G.
Comme F et G sont en somme directe dans E, F et G se coupent en un unique point M'.
Nous appellerons M' le 'projeté orthogonal de M sur F'. M' est caractérisé par deux propriétés :
L'application M → M' s'appelle, la 'projection orthogonale sur F'. C'est en particulier une application affine puisque c'est une projection sur une variété parallèlement à une direction donnée.
Projection orthogonale sur une droite dans le plan.

Projection orthogonale sur un plan dans l'espace.

Projection orthogonale sur une droite dans l'espace.

Propriété importante

Si M' est la projection orthogonale de M sur F alors M' est l'unique point de F tel que :
d(M,F)=d(M,M').
Ce qui signifie que dans le cas particulier où X est une variété linéaire la distance de M à X est effectivement atteinte en un point et un seul (nous avons vu sur des exemples que cette distance peut en général ne pas être atteinte ou qu'elle peut être atteinte en plusieurs points).
La preuve est simple :
Soit N un point quelconque de F, alors d'après Pythagore on a : MN2=MM'2+M'N2.
Ce qui prouve que MN ≥ MM' et que MN=MM' ⇔ M'=N.