Définition

Un 'repère orthonormé' dans un espace affine euclidien est un repère R=(O,B) où B est une base orthonormale.
Un repère orthormé, en dimension n, peut également être défini par n+1 points affinement indépendants, M0,M1, ..., Mn tels que (M0M1, M0M2, ... ,M0Mn) soit une base orthonormale, M0 étant l'origine du repère.
Nous avons vu, que par le procédé de Schmidt on peut toujours construire des repères orthonormés.

Expression de la norme et de la distance en repère orthonormé

Soit A un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormé R=(O,B).
Si u est un vecteur de l'espace vectoriel E directeur de A de coordonnées (u1, .... ,un) dans B alors u = i = 1 n u i 2
Ce point a déjà été vu en algèbre linéaire.
Sous les mêmes hypothèses :
Si M est un point de coordonnées (x1, ... ,xn) et si N est un point de coordonnées (y1, ..., yn) dans R, on a d ( M , N ) = i = 1 n ( y i x i ) 2
Cela résulte immédiatement du résultat précédent et du rapport entre la norme et la distance.

Coordonnées d'un vecteur relativement à une base orthonormée

Si R=(O, OA1, ... ,OAn) est un repère orthonormé d'un espace affine euclidien pour tout vecteur u la coordonnée de u relativement à OAi est u.OAi.
Cela résulte immédiatement du théorème sur les projections orthogonales dans cette page.

Orientation

Définir une 'orientation' sur un espace affine euclidien A de dimension finie consiste à choisir arbitrairement un repère orthonormé R=(O,B). Un espace affine euclidien sur lequel a été effectué un tel choix est dit 'orienté'.
Dans un espace affine euclidien orienté par un repère orthonormé R=(O,B), pour tout autre repère orthonormé R=(O',B') on a alors DétB(B')=+1 ou bien DétB(B')=-1.
Les repères pour lesquels DétB(B')=+1 sont dits 'directs' les autres sont dits 'rétrogrades'.
En effet il existe un et un seul automorphisme orthogonal,soit u, de E espace vectoriel directeur de A transformant B en B', le déterminant de u est par définition DétB(B'), et on sait que le déterminant d'un automorphisme orthogonal dans le cas réel vaut +1 ou -1 (revoir ce résultat).
Il résulte des définitions que :
Si dans un repère orthonormé on change un vecteur de base en son opposé on change l'orientation. La même remarque vaut si on invertit deux vecteurs de base.
D'une façon plus générale :
Si on applique à une base orthonormale une permutation σ la nouvelle base orthonormale obtenue est directe ou rétrograde selon que la signature de σ est paire ou impaire.
Voir par exemple ce rappel de cours.