Demi-droites

Soit D une droite dans un espace affine quelconque, O un point de cette droite et u un vecteur directeur. Les points de D sont caractérisés par leur paramétre dans une représentation paramétrique liée au repère R=(O,u).
On définit la 'demi-droite positive' comme le sous-ensemble de D formé des points M de paramètre λ > 0, c'est à dire l'ensemble des points M définis par OMu avec λ ≥ 0.
On définit de la même façon la 'demi-droite négative' d'origine O.
Nous nous intéressons particulièrement à la figure formée dans le plan par deux demi-droites de même origine.

Formellement un tel objet correspond à un couple et se notera donc (Ox,Oy).
On se place dans le plan affine euclidien orienté P.
Considérons maintenant sur l'ensemble de tels objets la relation binaire suivante :
(Ox,Oy) ≡ (O'x',O'y') si et seulement si il existe un déplacement f de P tel que f(Ox)=O'x' et f(Oy)=O'y'.
Trois couples équivalents :

Nous affirmons que :
Cette relation est une relation d'équivalence.
La preuve est évidente.

Angles orientés

Nous appelons 'angle orienté' une classe d'équivalence pour cette relation.
La classe (l'angle) de (Ox,Oy) sera notée ( Ox , Oy )
Voyons maintenant un résultat important.
Il existe un isomorphisme du groupe des rotations vectorielles du plan sur l'ensemble des angles.
Pour ce résultat nous avons besoin du lemme suivant :
Soient Ox et Oy deux demi-droites, il existe un déplacement et un seul transformant Ox en Oy.
En effet tout déplacement transformant Ox en Oy laisse forcément fixe le point O.
Soit alors A un point de Ox tel que OA soit unitaire et B ∈ Oy tel que OA soit unitaire aussi.
Alors tout déplacement transformant Ox en Oy doit transformer A en B.
Cela dit il n'existe qu'un seul déplacement transformant deux points distincts en deux autres points distincts équidistants.
Soient maintenant (Ox,Oy) et (O'x',O'y') deux couples représentant un même angle.
Soit d le déplacement transformant (Ox,Oy) en (O'x',O'y').
Soit r le déplacement transformant Ox en Oy.
Soit r' le déplacement transformant O'x' en O'y'.
On a alors nécessairement r'=dorod-1
Soient maintenant R,R' et D les matrices des applications linéaires associées à r,r' et d relativement à n'importe quelle base orthonormée du plan.
On a R'=DRD-1 les 4 matrices sont des matrices de rotations vectorielles, donc : R = a b b a D = x y y x D 1 = x y y x
avec a2+b2=1 et x2+y2=1
Le calcul donne R'=R.
On en déduit que l'application qui à un couple (Ox,Oy) associe la rotation vectorielle associée à l'unique déplacement transformant Ox en Oy est compatible avec la relation d'équivalence définissant les angles.
On vérifie que cette application est bijective.
Elle permet de transporter la structure de groupe abélien (multiplicatif) de l'ensemble des rotations vectorielles sur l'ensemble des angles, cependant la loi sur les angles sera notée additivement.
En résumé :
La 'somme' des angles ( Ox , Oy ) et ( O'x' , O'y' ) admet pour représentant tout couple (O"x",O"y") tel que la rotation vectorielle associée au déplacement amenant O"x" sur O"y" est égale au produit de la rotation vectorielle associée au déplacement amenant Ox sur Oy par la rotation vectorielle associée au déplacement amenant O'x' sur O'y'.
En particulier si O=O' et Oy=Ox'.
Un représentant de la somme ( Ox , Oy ) + ( Oy , O'y' ) est (Ox,Oy').
C'est ce qu'on appelle la 'relation de Chasles' pour les angles :
( Ox , Oy ) + ( Oy , O'y' ) = ( Ox , Oy' )
Il résulte en particulier de la relation de Chasles que :
( Ox , Ox ) =0
( Ox , Oy ) = - ( Oy , Ox )

Angles particuliers

L'angle nul a exactement deux 'moitiés'.
En effet quand on cherche les matrices orthogonales du type R = a b b a
vérifiant
R 2 = 1 0 0 1
On trouve les deux matrices
R 1 = 1 0 0 1
et
R 2 = 1 0 0 1
La première correspond à l'application identique (angle nul).
La seconde correspond à une symétrie centrale (angle dit 'plat' notation ϖ suivant André Cerezo)

L'angle plat a lui même deux moitiés qu'on appelle des angles 'droits' et qui correspondent au cas de demi-droites orthogonales.

2α=2β=ϖ

Extension à des demi-droites d'origines distinctes.

Soient Ox et O'y deux demi-droites d'origines distinctes O et O' pour tout point O" nous pouvons amener par translation Ox sur une demi-droite O"x" parallèle à Ox et O'y' sur une demi-droite O"y" parallèle à O'y'. Il est alors clair que :
L'angle ( O " x " , O " y " ) ne dépend pas du point O".
Nous appelerons cet angle l'angle des demi-droites Ox et O'y'.

Angles non orientés

Nous pouvons refaire tout le travail fait précédemment en changeant la relation d'équivalence entre couples de demi-droites par : (Ox,Oy) ≡ (O'x',O'y') si et seulement si il existe un isométrie f de P tel que f(Ox)=O'x' et f(Oy)=O'y'.
Mais alors qu'il existe seulement un déplacement qui amène Ox sur Oy il existe deux isométries amenant Ox sur Oy à savoir une rotation affine comme précédemment, mais aussi une réflexion par rapport à une bissectrice du couple des deux droites x'Ox, y'Oy supports de Ox et Oy.
Ce travail conduit à la définition d'une 'angle non orienté' ou encore 'angle géométrique' de deux demi-droites Ox et Oy parfois noté xOy

Angle d'un couple de droites

On peut naturellement considérer les couples de droites sécantes (Δ Δ') et définir un angle de deux droites comme une classe d'équivalence modulo un déplacement.
Mais on peut aussi tirer parti du travail déjà fait pour les demi-droites et remarquer que si Δ et Δ' sont sécantes en O, on peut écrire Δ=x'Ox et Δ'=y'Oy, faisant intervenir quatre demi-droites Ox, Ox', Oy, Oy' deux à deux opposées par le sommet. Tout déplacement amenant Δ sur Δ' amène donc Ox sur une demi droite de Δ' résultat d'une translation de Oy ou de Oy'.
A une translation près ces déplacements sont : On voit donc que :
Un angle de droites correspond à un angle orienté de deux demi-droites à un demi-tour près.

β=α+ϖ