Nous avons vu ici que les symétries orthogonales par rapport à une droite sont des antidéplacements du plan.
Ce ne sont certainement pas les seules. En particulier si on compose une telle symétrie avec un déplacement, on obtient un antidéplacement.
Commençons par étudier le cas de la composée d'une symétrie axiale avec une translation.

Cas particulier

On examinera en premier le cas où le vecteur de translation u est orthogonal à l'axe d de la symétrie.
Dans un repère où l'origine est un point de l'axe et où un vecteur de base est colinéaire à l'axe de la symétrie et l'autre est orthogonal à cet axe la détermination analytique de la symétrie est :
{ x ' = x y ' = y
dans ce même repère la translation a une expression annalytique :
{ x " = x ' y " = k + y '
La détermination analytique de la composée est donc :
{ x " = x y " = k y
Que nous pouvons encore écrire :
{ x " = x y " k / 2 = ( y k / 2 )
Et on reconnait là une symétrie axiale dont l'axe d' est translaté de l'axe de la symétrie initiale par une translation de vecteur v=u/2.

Cas général

Le vecteur u de la translation peut se décomposer en la somme d'un vecteur u 1 // à l'axe de la symétrie et d'un vecteur u 2 ⊥ à cet axe.
Comme T u = T u 1 T u 2
On peut donc conclure de ce qui précède que la composée d'une symétrie axiale avec une translation peut toujours être écrite comme la composée d'une symétrie axiale avec une translation // à l'axe de la symétrie.
Un antidéplacement tel que celui décrit ci-dessus s'appelle parfois une 'symétrie glissée'.

Nous allons voir maintenant que :
Ces symétries glissées, comportant en particulier les symétries axiales dans le cas où le vecteur de glissement est nul sont les seuls antidéplacements du plan.

Tout d'abord un antidéplacement est par définition une isométrie telle que l'application linéaire orthogonale associée soit négative. On pourra revoir par exemple cette page.
Il est facile de voir que relativement à une base orthonormée (i,j) la matrice d'une application linéaire orthogonale du plan dans lui même est du type :
a b b a
avec a2+b2=1.
Ici a et b sont tout simplement les coordonnées de l'image de i.
Il est facile de voir qu'une telle application linéaire possède une droite de points fixes.
En effet, les points fixes sont solutions du système de rang 1 :
{ x = ax + by y = bx ay
Si a=1 et b=0 la droite des points fixes est celle de vecteur directeur i, sinon le vecteur directeur est : u = b 1 a
Soit f un antidéplacement du plan, et f son application linéaire associée, u un vecteur directeur de la droite invariante de f .
Prenons alors un repère de type (O,u,v) où v est un vecteur orthogonal à u.
La détermination analytique de f est donc, dans un tel repère : { x ' = x 0 + x y ' = y 0 y
Ce qui prouve que f est une symétrie-glissée.