Nous avons déjà donné la définition des cercles et de leurs tangentes dans cette page.

Positions relatives d'une droite et d'un cercle

Pour une droite et une cercle dans un même plan il n'y a que 3 possibilités. Le critère de discrimination est la distance de la droite au centre du cercle.
Il suffit de considérer la projection orthogonale H du centre du cercle sur la droite et d'appliquer le théorème de Pythagore.
On constate en outre que :
Quand il y a deux points d'intersection, ils sont symétriques par rapport à H.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser ce résultat.
Vous pouvez déplacer le centre A du cercle.
Vous pouvez faire varier le rayon R du cercle avec le curseur.
Vous pouvez déplacer les points B et C avec la souris, faisant ainsi varier la droite (BC) et sa distance au centre A du cercle.
Le rayon R est affiché, de même que la distance AH.
Les points d'intersection apparaissent quand ils existent.

Positions relatives de deux cercles

Soient C1 et C2 deux cercles du plan, non concentriques et soient A et B leurs centres respectifs, R1 et R2 leurs rayons, Δ la droite (AB) et d la distance AB.
On suppose R2 ≥ R1. Dans ces conditions :
Δ est un axe de symétrie pour la figure C1 ∩ C2.
C1 et C2 ne se coupent pas si d > r1+r2 ou d <r2-r1.
C1 et C2 ont un seul point commun I si d=R1+R2 ou d=R2-R1 et les cercles ont même tangente en I.
Dans tous les autres cas C1 et C2 se coupent en 2 points I et J et la droite (IJ) est orthogonale à (AB).
La preuve est immédiate.
Vous pouvez à l'aide de l'applet suivante explorer tous les cas de figure :
Déplacez les cercles en déplaçant leurs centres.
Faite varier les rayons au moyen des curseurs.
La distance AB est affichée ainsi que les rayons.

Equations en repère orthonormé

Dans un repère orthonormé l'équation du cercle de centre A(a,b) et de rayon r est (x-a)2+(y-b)2=r2.
Cela provient du fait que M ∈ C ⇔ MA=r ⇔ MA2=r2.
L'équation de la tangente en M0(x0,y0) au cercle de centre A(a,b) et de rayon r est (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.
Cela s'obtient en écrivant que si M est sur la tangente, le vecteur MM0 est orthogonal au vecteur AM0.
Avec l'appliquette suivante, vous pouvez :
Vous voyez à l'affichage :

Angles inscrits

Nous allons maintenant énoncer et démontrer un théorème important.
Développons auparavant quelques préliminaires.
Un segment dont les deux extrêmités appartiennent à un même cercle, s'appelle une 'corde' de ce cercle.
En particulier, les 'diamètres' sont les cordes qui passent par le centre du cercle.
Toutes corde délimite deux portions de cercle situées de part et d'autre de la droite support de la corde. On les appelle les 'arcs' sous-tendus par la corde.
Une corde qui n'est pas un diamètre détermine donc deux arcs distincts, un 'grand' arc et un 'petit' arc.
Le grand arc est caractérisé par le fait qu'il se trouve du même côté de la corde que le centre du cercle, le petit est l'autre.
Un 'angle inscrit' dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle.
Un 'angle au centre' est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
On s'intéresse à la figure suivante, ou on a un cercle et une corde [BC] qui n'est pas un diamètre.
Un point A est choisi au hasard sur le grand arc BC .
On considère l'angle géométrique (non orienté) déterminé par les demi-droites [AB) et [AC) et on désigne sa mesure par α.
On désigne par β la mesure de l'angle au centre qui intercepte la corde [BC]. Alors nous avons le résultat suivant :
Le nombre α ne dépend pas de la position de A sur le grand arc BC , sa valeur est égale à β/2.
En outre α est égal à la mesure de l'angle (non orienté) que fait la droite (BC) avec la tangente au cercle en chacun des points B et C.
Si A' est un point quelconque du petit arc BC l'angle inscrit de sommet A' interceptant la corde [BC] a pour mesure π-α.
Avec l'applet suivante vous pouvez faire tourner le point A sur le cercle avec la souris et voir ce qui se passe quand :
  1. A coïncide avec C' ou avec B'
  2. A est entre B et C' ou bien entre B' et C
  3. A est entre C' et B'


La base de notre raisonnement est la figure ci-dessus.
Soit B' le point diamétralement opposé et C' le point diamétralement opposé à C.
Si A est en C' ou en B' le théorème est évident car les deux triangles OBC' et OBC sont isocèles, alors que CBC' est rectangle en B.
Si A est sur le petit arc B'C' l'angle ∠BAC est la somme de ∠BAA' et de ∠A'AC, le théorème étant vrai pour chacun d'eux.
Si A est sur le grand arc B'C' alors ∠BAC est la différence de ∠A'AC et de ∠A'AB pour lesquels le théorème est vrai.
Ceci démontre donc le prmier point du théorème.
L'angle formé par (OC) et la tangente en C est droit, donc l'angle non orienté formé par la droite (OC) et la tangente en C est droit.
Il en résulte que cet angle est complémentaire à l'angle ∠BCO lequel vaut la moitié de π-β d'où la seconde partie du théorème.
Pour le dernier point, considérer la figure suivante :

Il suffit d'appliquer le résultat précédent aux angles ∠BAA' et ∠A'AC et d'utiliser le fait que les triangles OBA' et OA'C sont isocèles.
Remarquons tout de suite que :
Le résultat ci-dessus reste vrai quand [BC] est un diamètre, sa démonstration étant alors immédiate (voir par exemple cet exercice).

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Soit C un cercle et A un point quelconque du plan.
On mène depuis A une secante au cercle coupant le cercle en C et D.
Alors le produit AC×AD ne dépend que de A et est encore egal à AT2 où T est le point de contact de C avec une tangente à C issue de A (dans le cas où A est extérieur à C).
Le nombre P(A,C) égal à AC×AE quand A est extérieur au cercle et - AC×AE quand A est intérieur s'appelle la 'puissance de A par rapport à C'.
Avec l'appliquette suivante, à l'aide de la souris, vous pouvez :

Soit O le centre du cercle C.
La droite (AO) coupe le cercle en deux points E et F diamètralement opposés.
Il suffit de montrer que AE×AF=AC×AD.
Considérons les deux triangles AEC et ADF.
Il ont en commun l'angle ∠A.
Par ailleurs ∠AFD=π-∠ECD car les deux angles interceptent la même corde [ED] avec chacun leurs sommets sur le cercle C sur des arcs opposés par rapport à [ED].
D'où ∠ACE=∠AFD.
Il en résulte que les deux triangles sont semblables.
En écrivant de deux manières les rapports de similitude nous avons :
AC AF = AE AD
qui nous donne l'égalité cherchée.
Dans le cas où A est extérieur les triangles ATF et ATE sont également semblables en vertu du théorème sur les angles inscrits.
Il résulte immédiatement de la définition que :
P(A,C) est positif pour A extérieur à C
P(A,C)=0 si et seulement si A ∈ C
P(A,C) est négatif pour A intérieur à C
Les courbes de niveau de A → P(A,C) sont des cercles concentriques à C.
En outre le théorème de Pythagore donne :
P(A,C)=AO2-r2, si O est le centre du cercle C et r son rayon.