Nous avons vu ici que les déplacements du plan sont les isométries ayant pour application linéaire associée une rotation vectorielle.
Il en résulte que par rapport à toute base orthonormale la détermination analytique d'un tel déplacement est :
{ x ' = x 0 + ax by y ' = y 0 + bx + ay
et que les nombres a et b, vérifiant a2+b2=1 sont indépendants du repère orthonormé particulier choisi pour la représentation analytique.
Les points fixes sont donc solutions du système :
{ x = x 0 + ax by y = y 0 + bx + ay
qui peut encore s'écrire :
{ ( 1 a ) x + by = x 0 bx + ( 1 a ) y = y 0
et dont le déterminant est :
1 a b b 1 a = ( 1 a ) 2 + b 2 = 2 ( 1 a )
Deux cas peuvent alors se présenter.
Cas a=1 :
alors forcément b=0 et le déterminant est nul dans ce cas la détermination analytique est :
{ x ' = x + x 0 y ' = y + y 0
et on reconnait une translation de vecteur u x 0 y 0
Cas a ≠ 1 :
Dans ce cas il y a un point fixe unique dont les coordonnées sont solutions du système de Cramer :
{ ( 1 a ) x + by = x 0 bx + ( 1 a ) y = y 0
Dans ce cas on dit qu'on a affaire à une 'rotation affine' dont le 'centre' est justement ce point fixe unique.

L'application affine associée est une rotation vectorielle.
Par définition, "l'angle" de la rotation affine est l'angle de la rotation vectorielle associée.
En résumé :
Les seuls déplacements du plan sont les translations et les rotations affines.
Les rotations ont un point fixe unique (le centre).
Les translations n'ont aucun point fixe si le vecteur de translation n'est pas nul, dans le cas contraire tous les points sont fixes.