Définitions

Nous partons du fait que l'application t → eit= cost+isint est un homomorphisme périodique de (ℝ,+) dans le cercle unité U de .
A toute rotation vectorielle plane nous avons vu qu'il correspond une matrice orthogonale unique de la forme :
a b b a
où a=cos(t) et b=sin(t).
t est défini à 2kπ près (k entier relatif) pour raison de périodicité des fonctions sin et cos.
t est la mesure de l'angle de la rotation.
t est donc un élément du groupe additif ℝ/2πℝ qui est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation t ≡ t' si et seulement si t-t'=2kπ où k est un entier relatif (revoir les lois quotients).
Comme à tout angle orienté de demi-droites ( Ox , Oy ) il correspond une et une seule rotation vectorielle r, nous pouvons poser la définition suivante :
La mesure de l'angle ( Ox , Oy ) est la mesure de l'angle de la rotation vectorielle r.
Il résulte de la définition de la somme des angles, de la formule de multiplication des matrices et des formules d'addition des sinus et cosinus que :
La mesure de la somme de deux angles orientés (de demi-droites) est la somme de leurs mesures (au sens de l'addition dans le groupe ℝ/2πℝ).
Il résulte immédiatement de cette définition que :
Il résulte des définitions que :
La mesure d'un angle non orienté (de vecteurs, de demi-droites) peut elle même être définie 'au signe près'.
En outre, et compte tenu des définitions :
Pour un angle de droites, on peut également définir une mesure qui sera définie à kπ près, c'est à dire un élement du groupe ℝ/πℝ.
En pratique, nous identifierons souvent un angle avec sa mesure.

Bissectrice d'un couple de demi-droites

Soient (Ox,Oy) un couple de demi-droites de même origine définissant donc un angle de mesure α.
On appelle 'bissectrice' de (Ox,Oy) la demi-droite Oz définie par ( Ox , Oz ) = α 2
Cette définition est à rapprocher de celle des hyperplans bissecteurs.
En fait si Δ est la droite support de Ox et si Δ' est la droite support de Oy, alors Oz a pour support une des deux bissectrices du couple (Δ,Δ').
Traitons le problème dans un repère orthonormé où l'axe des abscisses est le support de Oz.

Soit M un point de la bissectrice Oz.
Si y=ax est l'équation de Oy et y=-ax est l'équation de Ox.
La distance de M(k,0) à chacune des droites est ak 1 + a 2
d'où notre proposition.

Effets des isométries

Il résulte immédiatement de la définition des angles que :
Les déplacements du plan conservent les angles, donc leurs mesures
Voyons maintenant ce qu'il en est des antidéplacements.
Voyons d'abord un lemme :
Une réflexion par rapport à une droite change les angles en leurs opposés.

Voyons d'abord le cas où les deux angles ont un côté commun et que ce côté a pour support l'axe de la réflexion.
Traitons le problème dan sun repère orthonormé où l'axe des abscisses est l'axe de la réflexion. On suppose donc que Ox1 est la symétrique de Ox2 relativement à Δ et que Oy1=Oy2 et que ces deux demi-droites ont Δ pour support.
On désigne par M le point d'intersection de Ox1 avec le cercle unité.
On désigne par N le point d'intersection de Ox2 avec le cercle unité.
On désigne par P le point d'intersection commun de Oy1 et Oy2 avec le cercle unité.
Cette situation correspond à la figure suivante :

Il est clair qu'une rotation d'angle t amène P sur M et N sur P.
Donc ( O x 1 , O y 1 ) =- ( O x 2 , O y 2 )
On suppose maintenant seulement que les deux angles symétriques ont une origine commune sur l'axe de la réflexion.
Ce cas correspond alors à cette figure.

Sachant qu'on a par la relation de Chasles :
( O x 1 , O y 1 ) = ( O x 1 , Oz ) + ( Oz , O y 1 )
et
( O x 2 , O y 2 ) = ( O x 2 , Oz ) + ( Oz , O y 2 )
La relation ( O x 1 , O y 1 ) =- ( O x 2 , O y 2 )
résulte de l'étude du cas précédent.
Enfin, dans le cas général, les deux angles peuvent toujours être amenés par des translations, laissant donc les angles invariants, à coïncider avec des angles d'origine commune quelconque.
De là nous tirons le théorème suivant :
Les antidéplacements du plan, changent les angles en leurs opposés.
Il suffit en effet d'utiliser le fait qu'un antidéplacement peut toujours être écrit comme composé d'une réflexion avec un déplacement.

Effets des similitudes

Une homothétie laisse les angles inchangés.
C'est évident si l'angle a son sommet au centre de l'homothétie.
Sinon l'angle est équivalent par translation à un angle ayant son sommet au centre de l'homothétie.
De là nous concluons :
Les similitudes directes laissent les angles inchangés.
Car toute telle similitude est composée d'une homothétie avec un déplacement.
Les similitudes indirectes changent les angles en leurs opposés.
Car toute telle similitude est composée d'une homothétie avec un antidéplacement.