Nous supposons connus dans ce paragraphe toutes les définitions et tous les résultats relatifs aux similitudes dans un espace affine euclidien.
Nous supposons également connus les résultats relatifs aux déplacements et aux antidéplacements du plan.

Similitudes directes

Une similitude directe f du plan affine euclidien, de rapport λ, qui n'est pas une translation, a un seul point fixe Ω.
Elle peut s'écrire de façon unique comme le produit commutatif d'une rotation de centre Ω et d'une homothétie de centre Ω et de rapport λ.


Nous désignons par f l'application linéaire associée à f.
Si λ=1 alors f est un déplacement et si ce n'est pas une translation alors c'est une rotation (revoir les résultats sur les déplacements du plan).
Si λ ≠ 1 alors f-Id est injective.
En effet ||f(v)||=λ||v||, donc f(v)=v, n'est possible que si v=0.
f-Id étant injective elle est surjective.
Soit maintenant M un point quelconque du plan P et soit v le vecteur Mf(M).
Posons g = T v f alors g est une application du groupe affine du plan laissant fixe M.
Comme f-Id est surjective, il existe un vecteur wP tel que :
v=f(w)-w
Posant Ω=M-w on a :
f(Ω)=f(M)+f()=f(M)+f(w)=f(M)-v-w=M-w
Si Ω' est un autre point fixe de f, ΩΩ ' = f ( Ω ) f ( Ω ' ) donc ΩΩ ' = λ ΩΩ ' avec λ ≠ 1 donc Ω=Ω'.
Soit h l'homothétie de centre Ω et de rapport 1/λ.
Alors hof est un déplacement admettant Ω pour point fixe c'est donc une rotation de centre Ω soit g et on a hog=goh=f.

Similitudes indirectes

Une similitude indirecte, qui n'est pas un antidéplacement, est le produit commutatif d'une réflexion par rapport à une droite Δ et d'une homothétie de rapport λ ≠ 1 centrée sur Δ.
Dans ce cas la similitude admet un seul point fixe qui est le centre de l'homothétie.


Si la similitude n'est pas un antidéplacement son rapport λ est différent de 1.
Par le même raisonnement que ci-dessus f admet un seul point fixe Ω.
si h désigne l'homothétie de centre Ω et de rapport 1/λ hof est un antidéplacement laissant fixe Ω donc une symétrie orthogonale par rapport à une droite Δ passant par Ω.

Figures semblables

Deux figures planes sont dites 'semblables' si elles se correspondent dans une similitude.
Ceci correspond à la définition plus générale que nous avons donnée précédemment.