Mesures des côtés

Si ABC est un triangle chaque côté est, en longueur, inférieur à la somme des deux autres, et chaque côté est supérieur à la valeur absolue de la différence des deux autres.
BC ≤ BA+AC
BC ≥ |BA-AC|
C'est simplement la traduction en termes de distances d'un résultat sur les normes.

Somme des angles

Nous rappelons ici un résultat simple vu dans cet exercice.
Dans un triangle ABC la somme des trois angles 'intérieurs' a pour mesure π.

Familles de droites concourantes

Médianes

Nous rappelons un résultat vu dans cette page.
Dans tout triangle les 3 médianes (joignant chaque sommet au milieu du côté opposé) sont concourantes en un point appelé 'centre de gravité' du triangle. Ce point se trouve au 2/3 de chaque médiane à partir du sommet.
Avec l'appliquette suivante vous pouvez déplacer les sommets du triangle avec la souris.

Médiatrices

Dans tout triangle les 3 médiatrices des côtés sont concourantes en un point qui est centre d'un cercle passant par les 3 sommets (cercle 'circonscrit').
La démonstration se trouve dans cet exercice.
Avec l'appliquette suivante vous pouvez déplacer les sommets du triangle avec la souris.

Hauteurs

Dans tout triangle les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé 'orthocentre'.
La démonstration se trouve dans cet exercice.
Avec l'appliquette suivante vous pouvez déplacer les sommets du triangle avec la souris.
Alors que le centre de gravité se trouve toujours situé à l'intérieur du triangle, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre peuvent se trouver à l'extérieur.
Il existe une relation entre les 3 points.
Dans tout triangle, l'orthocentre H, le centre de gravité G et le centre du cercle circonscrit J sont alignés sur une droite appelée 'Droite d'Euler' du triangle ABC.
En outre G se trouve entre H et J au 1/3 sur le segment [JH] en partant de J.
En effet, l'homothétie de centre G et de rapport -2 transforme B' en B et J en H.

Bissectrices

Dans tout triangle les trois bissectrices intérieures convergent en un point qui est le 'centre du cercle inscrit' tangent intérieurement aux trois côtés.
Chaque bissectrice intérieure converge avec les deux autres bissectrices extérieures. Les points de concours sont les centres des 'cercles ex-inscrits'.
Pour une démonstration, voir cet exercice.
Avec l'appliquette suivante vous pouvez déplacer les sommets du triangle avec la souris.
Une propriété des bissectrices
Les bissectrices issues de A, partagent le côté [BC] dans le rapport que AB/AC.
Si D est le pied de la bissectrice intérieure issue de A et si E est le pied de la bissectrice extérieure issue de A, alors DB ¯ DC ¯ = AB AC et EB ¯ EC ¯ = AB AC .
Il en résulte donc que (B,C,D,E) est une division harmonique, et que les droites (AB),(AC),(AD),(AE) forment un faisceau harmonique.
Pour une démonstration de ce résultat voir cet exercice.
Avec l'appliquette suivante vous pouvez déplacer les sommets du triangle avec la souris.

Cas d'égalité

Nous considérons ici les triangles comme des triplets ordonnés de 3 points (A,B,C), et on s'intéresse à la figure formée par deux tels triplets soient (A,B,C) et (A',B',C').
Les sommets de même ordre sont dits 'correspondants' (exemple : A et A' , B et B').
Les côtés formés de sommets correspondants seront dits eux-mêmes 'correspondants' (exemple [AB] et [A'B']).
On s'intéresse aux angles 'géométriques' (non orientés) déterminés par les côtés, on peut donc supposer que leurs mesures sont toutes positives et entre 0 et π.
Tout comme les sommets et les côtés on a la notion d'angles 'correspondants' (exemple : BAC et B'A'C' .
Deux triangles (A,B,C) et (A',B',C') d'un même plan sont dits 'isométriques' s'il existe une isométrie plane f telle que f(A)=A', f(B)=B', f(C)=C'.
Par abus de langage, nous dirons que deux tels triangles sont 'égaux'.
Il va de soi qu'il ne s'agit pas ici d'une égalité au sens de la théorie des ensembles.
De la même façon, et toujours par abus de langage, nous parlerons de côtés 'égaux' pour désigner des côtés de même longueur.
Et toujours dans le même ordre d'idée, pour simplifier le discours, nous parlerons d'angles 'égaux' pour désigner des angles de même mesure.
Il est évident que :
Une condition nécessaire pour que ABC et A'B'C' soit égaux est que simultanément
Cela résulte immédiatement de : Nous énonçons maintenant, en manière de réciproque, une liste de conditions suffisantes pour que deux triangles soient égaux.
Deux triangles sont égaux si :
La preuve, un peu longue et fastidieuse ne présente pas de réelles difficultés. Elle utilise le résultat préliminaire suivant :
Etant donnés deux couples de points équidistants (A,B) et (A',B') avec AB=A'B'≠ 0, il y a exactement deux isométries amenant A sur A' et B sur B'.
L'une seule et directe et l'autre est composée de la première par la réflexion d'axe (A'B') à gauche ou par la réflexion d'axe (AB) à droite.

Application

Construction de la bissectrice d'un angle :

Triangles semblables

De la même façon que nous avons défini des triangles 'égaux' nous définissons des triangles 'semblables' comme étant des triangles s'échangeant par une similitude.
De la même façon que nous avons des cas d'égalité nous avons des 'cas de similitude' :
Pour que deux triangles soient semblables il suffit
Les cas de similitude se déduisent immédiatement des cas d'égalité par l'application d'une homothétie.

Cercle de Feuerbach

Karl Wilhelm Feuerbach (30 mai 1800 - 12 mars 1834) était un géomètre allemand, on lui attribue la découverte du résultat qui suit, mais ce résultat était déjà connu d'Euler.
Euler Feuerbach
Dans un triangle ABC le cercle circonscrit aux milieux des côtés passe également par les pieds des hauteurs et les milieux des segments joignant l'orthocentre à chaque sommet.
L'appliquette qui suit vous permet de déplacer les sommets du triangle ABC avec la souris.
Vous pouvez voir le cercle des neufs points.

Le cercle circonscrit aux milieux est l'image du cercle circonscrit au triangle ABC par une homothétie de centre G (centre de gravité de ABC) et de rapport -1/2.
Si O est le centre du cercle circonscrit à ABC, le centre F du cercle de Feuerbach est donc l'image de O par l'homothétie de centre G et de rapport -1/2.
On sait que HG=2GO et que FG=(1/2)GO.
F est donc le milieu de [OH].
Soit maintenant h l'homothétie de centre H et de rapport 1/2. Cette homothétie transforme le cercle circonscrit en le cercle de Feuerbach. Or chaque sommet est transformé par cette homothétie en le milieu du segment joignant l'orthocentre au sommet.
Il résulte de ce qui précède que si A" est le milieu de [AH], B" celui de [BH] et C" celui de [CH] alors le triangle A"B"C" est l'homothétique de A'B'C' dans une homothétie de centre F et de rapport -1 (symétrie centrale).
Il en résulte donc que [A'A"],[B'B"],[C'C"] sont des diamètres du cercle de Feuerbach.
Mais si A"' est le pied de la hauteur issue de A, l'angle A'A"'A" est droit, ce qui prouve que A"' est sur le cercle de Feuerbach. Le même raisonnement vaut pour les pieds des deux autres hauteurs.

Droites de Steiner et de Simson

Jakob Steiner né le 18 mars 1796 et mort le 1er avril 1863, est un mathématicien suisse.
Robert Simson (14 octobre 1687 – 1er octobre 1768) est un mathématicien écossais célèbre pour ses contributions en géométrie, notamment la droite de Simson.
William Wallace (23 septembre 1768 - 28 avril 1843) est un mathématicien écossais qui est certainement l'auteur des travaux attribués par erreur à Simson.
Steiner Simson Wallace
Soit P un point quelconque du cercle circonscrit au triangle ABC, alors si on désigne par K,L,M les projections orthogonales de P sur [BC],[AC],[AB] respectivement les points K,L et M sont alignés sur une droite appelée 'droite de Simson'.
Il en résulte que si K',L',M' désignent les symétriques de P par rapport aux trois côtés, les points K',L',M' sont également alignés sur une droite appelée 'droite de Steiner'.
Les droites de Simson et de Steiner se correspondent dans une homothétie de rapport 2, et sont donc parallèles.
La réciproque est vraie c'est à dire que si K L M sont alignés alors PABC est inscriptible.
L'applet Geogebra suivante vous permet de déplacer à la souris les sommets du triangle ABC. Vous pouvez également déplacer le point P sur le cercle circonscrit à ABC.
La droite de Simson apparait en rouge, celle de Steiner en bleu.

PKM = PBM car PMAN inscriptible.
PBM = π- PBA car ce sont des angles adjacents sur la droite ABK.
π- PBA = PCA car PBAC inscriptible
PCA = PCL (simple renommage de l'angle).
PCL = π- PKL car PCLK inscriptible.
d'où nous tirons :
PKM = π- PKL
Et finalement :
PKM + PKL = π
qui prouve l'alignement.
La démonstration de la réciproque se résume à un réarrangement des arguments du théorème direct.