Ce chapitre, purement technique ne comporte aucune difficulté majeure. Il suppose seulement connu le chapitre précédent concernant la définition des espaces affines et des variétés linéaires ainsi que ce qui concerne les systèmes linéaires.
Nous reprenons l'idée de représenter les vecteurs par des n-uples de points.
Le but est de faire la même chose avec les points d'un espace affine.
Dans la mesure où tout espace affine est en bijection avec un espace vectoriel, dans le cas de la dimension finie, les vecteurs pouvant être représentés par des n-uples au moyen du choix d'une base, il en sera de même pour les points.
Toutefois la bijection entre A l'espace affine et E son espace vectoriel associé dépend du choix d'un point particulier rappelé 'origine'. Ainsi la correspondance point ↔ n-uple dépendra partiellement du choix de l'origine et partiellement du choix d'une base.
La bijection étant établie, nous chercherons à caractériser les variétés linéaires (et plus tard d'autres ensembles) par des équations ou des systèmes d'équations qui sont en fait des équations dans un espace multi-dimensionnel.
Le fait que toute variété peut être vue comme l'intersection d'hyperplans affines jouera un rôle particulier. Les variétés apparaîtront alors comme les solutions de systèmes linéaires, et comme les solutions de tels systèmes ont déjà largement été étudiées en algèbre linéaire, on pourra réutiliser des résultats connus.
Les représentations paramétriques sont l'application du principe ci-dessus (bijection avec une puissance de K) à des variétés linéaires qui peuvent être considérées comme des espaces affines à part entière. Ainsi pour un variété linéaire B de dimension p dans un espace affine de dimension n, tout point de B pourra être mis en bijection (de plusieurs manières) avec un p-uple d'éléments de K (corps de base).
Nous essaierons par la suite de déceler le parallélisme des variétés sur les représentations analytiques de ces variétés (équations cartésiennes ou représentations paramétriques), et de caractériser l'intersection de variétés représentées par des systèmes d'équations ou des représentations paramétriques, soit par un nouveau système d'équations cartésiennes soit par une nouvelle représentation paramétrique.