Cette page concerne uniquement les espaces affines de dimension finie.
Nous supposons connue le terminologie relative aux équations linéaires et aux systèmes de telles équations. Pour un rappel voir par exemple cette page.

Cas des hyperplans affines

Nous affirmons tout d'abord que si R=(O,B) est un repère affine de A, pour toute équation linéaire 'propre' (dont les coefficients ne sont pas tous nuls) l'ensemble des solutions représente les coordonnées des points d'un hyperplan affine et réciproquement.
Soit en effet H un hyperplan affine de sous espace directeur l'hyperplan vectoriel F.
On sait que F est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
F est donc constitué des vecteurs dont les coordonnées ui dans la base B satisfont une équation du type :
i = 1 n α i u i = 0
Soit maintenant P un point particulier de H de coordonnées (x1,x2, ..., xn) dans le repère R, et posons :
β = i = 1 n α i x i
Maintenant pour un point Q de coordonnées (y1,y2, ... ,yn), il y a équivalence entre : Q ∈ H et PQ ∈ F. Les coordonnées de PQ sont les nombres ui=yi-xi.
De sorte qu'en tenant compte de la caractérisation de F donnée plus haut : Q ∈ H ⇔ i = 1 n α i y i = i = 1 n α i x i = β
L'équation i = 1 n α i x i = β caractérise donc les points de H.
On dit que cette équation est une 'équation cartésienne' de l'hyperplan H.
La réciproque se vérifie de la même manière.
Un hyperplan affine ne possède pas une seule équation cartésienne. En multipliant une équation cartésienne de H par un scalaire non nul on en obtient une autre.

Variétés quelconques

Tout sous-espace vectoriel peut s'écrire comme intersection d'hyperplans vectoriels.
En effet si F est un sous-espace de base ( v 1 , v 2 , ... , v p ), nous pouvons compléter cette base en une base ( v 1 , v 2 , ... , v p , v p+1 , v p+2 , ... , v n ) de l'espace E entier.
En retirant successivement à cette base, un par un, chacun des vecteurs v p+1 , v p+2 , ... , v n on obtient des bases d'hyperplans vectoriels dont l'intersection est F.
Il en résulte que dans un espace de dimension n toute variété V de dimension p peut être écrite comme intersection de n-p hyperplans affines, que si un repère R=(O,B) est donné dans A, les points de V sont ceux dont les coordonnées relativement à R sont solutions d'un système de n-p équations linéaires.
Ainsi dans l'espace à 3 dimensions toute droite peut être représentée par un système de deux équations linéaires (non proportionnelles). Cela revient à présenter une droite comme l'intersection de deux plans non parallèles. Naturellement cela peut se faire d'une infinité de façons.
S'il est en général assez simple de voir que deux équations représentent le même hyperplan (la condition de proportionnalité étant nécessaire et suffisante), il est par contre plus difficile de voir si deux systèmes d'équations représentent la même variété. Même dans le cas de la droite dans le plan, il n'est pas immédiat de décider si deux systèmes de deux équations représentent la même droite.
Une façon de le prouver consiste à montrer que les systèmes sont équivalents, c'est à dire à amener le premier système sous la forme du second par des opérations élémentaires sur les lignes (ajout à une ligne d'une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d'une ligne par un scalaire non nul).

Café Python

Voici une modélisation des hyperplans et des variétés représentés par une ou plusieurs équations cartésiennes.
Ce module utilise le module 'reperes.py'.