Le choix d'un repère transforme les figures en équations.
Le choix d'un repère approprié peut rendre ces équations particulièrement simples.
C'est le cas par exemples des coniques dites 'à centre' comme les ellipses et les hyperboles qui possèdent deux axes de symétrie et un centre de symétrie (l'intersection des deux axes). Un repère ayant pour origine le centre de symétrie, et des vecteurs de base dans la direction des axes de symétrie, permet d'obtenir des équations normalisées dites 'réduites' et une étude algébrique plus simple de ces courbes.
Il arrive aussi qu'en mécanique le choix d'un repère lié à un mobile permette d'établir des équations différentielles ayant une forme particulièrement simple. Les trajectoires sont d'autant plus faciles à calculer.
Nous supposerons connus les résultats d'algèbre linéaire concernant les matrices de passage.
Tout ce qui suit ne concerne que les espaces affines de dimension finie.

Changement d'origine

On considére deux repères qui ne différent que par leur origine, disons R1=(O1,B) et R2=(O2,B).
On considère un même point M et soient :
(c1,i) i∈{1,2, ..., n} ses coordonnées par rapport à R1
(c2,i) i∈{1,2, ..., n} ses coordonnées par rapport à R2
Il y a entre ces deux jeux de coordonnées les relations suivantes:
c2,i=c1,i-ki où ∀ i ∈ {1,2,.. ,n} ki est la coordonnée d'indice i du vecteur O1O2 dans la base B
La preuve résulte seulement de la relation vectorielle O2M= O1M-O1O2

Changement de base

On considére deux repères de même origine, disons R1=(O,B1) et R2=(O,B2).
On considère un même point M et soient :
(c1,i) i∈{1,2, ..., n} ses coordonnées par rapport à R1
(c2,i) i∈{1,2, ..., n} ses coordonnées par rapport à R2
Introduisons la matrice de passage P de B1 à B2 et son inverse P-1.
Dans ces conditions, si v1 est le vecteur de Kn ayant les c1,i pour coordonnées, et si v2 est le vecteur de Kn ayant les c2,i pour coordonnées, on a:
v2=P-1v1
Cela résulte évidemment de la définition même d'une matrice de passage et donne des formules explicites de changement de repère quand on modifie la base sans toucher l'origine.

Cas général

Pour le cas général, c'est à dire quand on passe d'un repère à un autre par changement de l'origine et de la base, il suffit de procéder en deux temps :
  1. Changement de l'origine simplement d'abord.
  2. Changement de la base sans toucher à l'origine ensuite.
On obtient donc des formules de changement de repère consistant en un décalage suivi de l'application d'une matrice de passage.
Voici maintenant une appliquette permettant de voir ce qu'il se passe dans ℝ2.
Nous avons 2 bases : la base (i,j) et la base (u,v).
Nous avons deux origines : le point O et le point Ω. Ce qui nous donne 4 repères: Chaque point M a donc 4 systèmes de coordonnées par rapport à chacun de ces 4 repères.
Voici les actions autorisées: En fait les possibilités sont repérés par des points marqués de couleur rouge.
Ce faisant on fait varier les repères et/ou le point M dont les 4 systèmes de coordonnées. En temps réel vous voyez apparaître:

Café Python

Le programme suivant utilise les modules "affines.py" et "reperes.py".
Il illustre les changements de coordonnées d'un même point quand on effectue des changement de repères simples.