Nous sommes toujours dans le cas d'un espace affine de dimension finie rapporté à un repère.
Nous considérons dans cet espace deux variétés linéaires V et V'.
V, de dimension p, peut être représentée par un système de n-p équations cartésiennes :
C1(x1, ... ,xn)=c1
C2(x1, ... ,xn)=c2
......
Cn-p(x1, ..., xn)=cn-p
où chaque expression Ci(x1, ... ,xn) est une combinaison linéaire des xi du type ai,1x1+ ... +ai,nxn.
ou bien par une représentation paramétrique avec p paramètres k1, ... ,kp :
x1=P1(k1, ..,kp)
x2=P2(k1, ..,kp)
......
xn=Pn(k1, ..,kp)
où chaque expression Pi est de la forme mi+k1ui,1+ ... + kpui,p
où les nombres (m1, ... , mn) sont les coordonnées d'un point M de V, et ui,j la j-ième coordonnée d'un vecteur u i ces vecteurs étant choisis de sorte que ( u 1 , ..., u p ) est une base du sous-espace directeur de V.
V', de dimension q, peut être représentée par un système de n-q équations cartésiennes :
C'1(x1, ... ,xn)=c'1
C'2(x1, ... ,xn)=c'2
......
C'n-q(x1, ..., xn)=c'n-q
où chaque expression C'i(x1, ... ,xn) est une combinaison linéaire des xi du type a'i,1x1+ ... +a'i,nxn.
ou bien par une représentation paramétrique avec q paramètres h1, ... ,hq :
x1=P'1(h1, ..,hq)
x2=P'2(h1, ..,hq)
......
xn=P'n(h1, ..,hq)
où chaque expression Pi est de la forme m'i+h1u'i,1+ ... + hqu'i,q
où les nombres (m'1, ... , m'n) sont les coordonnées d'un point M' de V', et u'i,j la j-ième coordonnée d'un vecteur u' i ces vecteurs étant choisis de sorte que ( u' 1 , ..., u' q ) est une base du sous-espace directeur de V'.
Le problème est de déduire de ces données une représentation analytique de l'intersection de V et de V' qui est, rappelons le soit l'ensemble vide soit une variété linéaire. Le cas de l'ensemble vide correspond au parallélisme strict (une variété est parallèle à l'autre et non incluse dans cette autre), donc dans le cas contraire il nous faut donner soit un système d'équations cartésiennes soit une représentation paramétrique de la variété intersection.
Tout d'abord quand V et V' sont données toutes deux par des systèmes d'équations cartésiennes, le système obtenu en réunissant les n-p équations définissant v avec les n-q équations définissant V' est un système d'équations linéaires définissant V ∩ V'.
Cependant, ce système n'est peut-être pas optimal en ce sens qu'il y a peut être des redondances. Le travail qui reste à faire consiste donc à calculer son rang r puis à extraire des 2n-p-q lignes r lignes indépendantes et à vérifier les conditions de compatibilité pour les 2n-p-q-r lignes restantes. Si ces conditions de compatibilité ne sont pas vérifiées l'intersection est vide, dans le cas contraire la variété intersection est représentée par ces r équations choisies.
Quand V et V' sont représentées toutes les deux par des représentations paramétriques, on pose le système obtenu en égalant les expressions des xi en fonctions de k1, ..., kp d'une part et de h1, ... ,hq d'autre part.
On obtient ainsi un système de n équations à p+q inconnues :
P1(k1, ... ,kp)=P'1(h1, ..., hq)
P2(k1, ... ,kp)=P'2(h1, ..., hq)
..................
Pn(k1, ... ,kp)=P'n(h1, ..., hq)
Ce système peut-être sous-déterminé cas p+q > n.
Il peut être sur-déterminé si p+q < n.
Il peut enfin être de Cramer (mais pas nécessairement) si p+q=n.
On trouvera donc suivant les cas l'ensemble vide, ou bien un point (cas du système de Cramer) ou bien une variété linéaire avec un nombre variable de paramètres mais inférieur à max(p,q).
Vient enfin le cas où l'une des variétés, disons par exemple V, est donnée par un système d'équations cartésiennes et l'autre, disons V', par une représentation paramétrique.
Dans ce cas, en remplaçant les xi par leurs expressions en fonction des hj 1 ≤ j ≤ q dans les équations cartésiennes déterminant V on obtiendra un système de n-p équations à q inconnues qui pourra encore être éventuellement de Cramer si n-p=q ou bien surdéterminé ou encore sous-déterminé.
La résolution de ce système par les méthodes données en algèbre linéaire nous donnera l'ensemble solution.

Exemples traités

L'espace est ℝ3 rapporté à la base canonique.

Exemple 1

Trouver l'intersection de la droite définie par le système :
-3x+2y-2z=4
3x+3y=-2
Avec le plan d'équation :
x+2y-z=4
Il suffit de résoudre le système formé par les 3 équations qui est un système de Cramer on trouve donc l'unique point :
M(16/9,-22/9,-64/9)

Exemple 2

Trouver l'intersection de la droite définie par le système :
2x+4y-2z=3
3x+3y=-2
Avec le plan d'équation :
x+2y-z=4
Il suffit de résoudre le système formé par les 3 équations qui est de rang 2 sans solution

Exemple 3

Trouver l'intersection de la droite définie par le système :
-3x+2y-2z=4
3x+3y=-2
Avec le plan d'équation :
6x+6y=-4
On vérifie que les équations 3x+3y=-2 et 6x+6y=-4 sont deux équations d'un même plan. La droite est donc contenue dans le plan et l'intersection est la droite entière.

Exemple 4

On considère le plan P déterminé par le point A(4,0,1) et les vecteurs directeurs u(3,-4,-1) et v(3,1,0), d'une part, ainsi que la droite D déterminée par le point B(2,1,1) et le vecteur w(1,-1,1) d'autre part.
Déterminer l'intersection de P et D.
On écrit les représentations paramétriques associées aux définitions des deux variétés :
x=4+3k+3h
y=-4k +h
z=1-k
pour le plan P
x=2+t
y=1-t
z=1+t
pour la droite D.
Puis les équations qui en résultent :
2+t=4+3k+3h
1-t=-4k+h
1+t=1-k
Soit sous forme standardisée :
3k+3h-t=-2
-4k+h+t=1
k+0h+t=0
Qui donne comme solution :
k=-5/19 , h=-6/19 , t=5/19
On trouve donc un unique point d'intersection :
M(43/19,14/19,24/19)

Exemple 5

Soit la droite D1 déterminée par le point A(2,1,1) et le vecteur w(1,-1,1).
Soit la droite D2 déterminée par le point B(3,1,2) et le vecteur w(0,1,0).
Déterminer l'intersection de D1 avec D2.
On écrit les représentations paramétriques des deux droites :
x=2+t
y=1-t
z=1+t
pour la première
x=3
y=1+s
z=2
pour la seconde
On forme le système correspondant :
2+t=3
1-t=1+s
1+t=2
qui est un système surdéterminé admettant la solution unique (t,s)=(1,-1)
Il existe donc un unique point d'intersection entre les deux droites de l'espace soit le point M(3,0,2)

Exemple 6

Soit la droite D1 déterminée par le point A(2,1,1) et le vecteur w(1,-1,1).
Soit la droite D2 déterminée par le point B(3,1,2) et le vecteur w(0,1,1).
Déterminer l'intersection de D1 avec D2.
On écrit les représentations paramétriques des deux droites :
x=2+t
y=1-t
z=1+t
pour la première
x=3
y=1+s
z=2+s
pour la seconde
On forme le système correspondant :
2+t=3
1-t=1+s
1+t=2+s
Qui est un système surdéterminé n'admettant aucune solution.

Exemple 7

Soit la droite D déterminée par le point A(2,1,1) et le vecteur w(1,-1,1).
Soit P le plan d'équation x-y=2.
Déterminer D ∩ P.
Partons d'une représentation paramétrique de D :
x=2+t y=1-t z=1+t Remplaçons x, y et z par leurs valeurs en fonction de t dans l'équation du plan, il vient :
(2+t)-(1-t)=2
On en tire t=1/2 et un seul point d'intersection M(5/2,1/2,3/2)

Exemple 8

Soit la droite D déterminée par le point A(2,1,1) et le vecteur w(1,-1,1).
Soit P le plan d'équation x+y=2.
On voit tout de suite que le vecteur w(1,-1,1) est un vecteur directeur de P.
La droite est donc parallèle au plan.
Mais le point A n'est pas dans P donc P ∩ D= ∅.