V, de dimension p, peut être représentée par un système de n-p équations cartésiennes : C1(x1, ... ,xn)=c1 C2(x1, ... ,xn)=c2 ...... Cn-p(x1, ..., xn)=cn-p où chaque expression Ci(x1, ... ,xn) est une combinaison linéaire des xi du type ai,1x1+ ... +ai,nxn. ou bien par une représentation paramétrique avec p paramètres k1, ... ,kp : x1=P1(k1, ..,kp) x2=P2(k1, ..,kp) ...... xn=Pn(k1, ..,kp) où chaque expression Pi est de la forme mi+k1ui,1+ ... + kpui,p où les nombres (m1, ... , mn) sont les coordonnées d'un point M de V, et ui,j la j-ième coordonnée d'un vecteur ces vecteurs étant choisis de sorte que ( , ..., ) est une base du sous-espace directeur de V. |
V', de dimension q, peut être représentée par un système de n-q équations cartésiennes : C'1(x1, ... ,xn)=c'1 C'2(x1, ... ,xn)=c'2 ...... C'n-q(x1, ..., xn)=c'n-q où chaque expression C'i(x1, ... ,xn) est une combinaison linéaire des xi du type a'i,1x1+ ... +a'i,nxn. ou bien par une représentation paramétrique avec q paramètres h1, ... ,hq : x1=P'1(h1, ..,hq) x2=P'2(h1, ..,hq) ...... xn=P'n(h1, ..,hq) où chaque expression Pi est de la forme m'i+h1u'i,1+ ... + hqu'i,q où les nombres (m'1, ... , m'n) sont les coordonnées d'un point M' de V', et u'i,j la j-ième coordonnée d'un vecteur ces vecteurs étant choisis de sorte que ( , ..., ) est une base du sous-espace directeur de V'. |
Tout d'abord quand V et V' sont données toutes deux par des systèmes d'équations cartésiennes, le système obtenu en réunissant les n-p équations définissant v avec les n-q équations définissant V' est un système d'équations linéaires définissant V ∩ V'. Cependant, ce système n'est peut-être pas optimal en ce sens qu'il y a peut être des redondances. Le travail qui reste à faire consiste donc à calculer son rang r puis à extraire des 2n-p-q lignes r lignes indépendantes et à vérifier les conditions de compatibilité pour les 2n-p-q-r lignes restantes. Si ces conditions de compatibilité ne sont pas vérifiées l'intersection est vide, dans le cas contraire la variété intersection est représentée par ces r équations choisies. |
Quand V et V' sont représentées toutes les deux par des représentations paramétriques, on pose le système obtenu en égalant les expressions des xi en fonctions de k1, ..., kp d'une part et de h1, ... ,hq d'autre part. On obtient ainsi un système de n équations à p+q inconnues : P1(k1, ... ,kp)=P'1(h1, ..., hq) P2(k1, ... ,kp)=P'2(h1, ..., hq) .................. Pn(k1, ... ,kp)=P'n(h1, ..., hq) Ce système peut-être sous-déterminé cas p+q > n. Il peut être sur-déterminé si p+q < n. Il peut enfin être de Cramer (mais pas nécessairement) si p+q=n. On trouvera donc suivant les cas l'ensemble vide, ou bien un point (cas du système de Cramer) ou bien une variété linéaire avec un nombre variable de paramètres mais inférieur à max(p,q). |
Vient enfin le cas où l'une des variétés, disons par exemple V, est donnée par un système d'équations cartésiennes et l'autre, disons V', par une représentation paramétrique. Dans ce cas, en remplaçant les xi par leurs expressions en fonction des hj 1 ≤ j ≤ q dans les équations cartésiennes déterminant V on obtiendra un système de n-p équations à q inconnues qui pourra encore être éventuellement de Cramer si n-p=q ou bien surdéterminé ou encore sous-déterminé. La résolution de ce système par les méthodes données en algèbre linéaire nous donnera l'ensemble solution. |