Nous avons déjà vu la notion de parallélisme pour les variétés linéaires.
Nous avons vu dans ce chapitre les différentes possibilités de représentation analytique des variétés linéaires.
Le problème se pose de savoir reconnaître rapidement le parallélisme directement sur ces représentations.
Dans toute cette page on suppose qu'on a un espace affine A de dimension finie n rapporté à un repère R. Les points sont donc caractérisés par leurs coordonnées relativement à ce repère.

Cas des hyperplans

Les hyperplans sont représentés par une équation cartésienne.
Deux hyperplans sont parallèles s'ils ont le même hyperplan vectoriel directeur.
Il résulte de la caractérisation des hyperplans vectoriels comme noyaux de formes linéaires non nulles que si 2 hyperplans affines H1 et H2 représentés par des équations :
(H1) a1,1x1+a1,2x2+ ... + a1,nxn=b1
(H2) a2,1x1+a2,2x2+ ... + a2,nxn=b2
Le parallélisme de H1 et H2 revient à l'existence d'un coefficient k non nul tel que :
(a2,1,a2,2, ... ,a2,n)=k(a1,1,a1,2, ... ,a1,n)
En outre H1 et H2 sont confondus si on a également b2=kb1, strictement parallèles et donc disjoints dans le cas contraire.
Par ailleurs, il est facile de décider si un vecteur u de coordonnées (u1, ...,un) est un vecteur directeur de l'hyperplan H d'équation :
a1x1+a2x2+ ... + anxn=b
Il suffit de vérifier que ses coordonnées satisfont l'équation :
a1u1+a2u2+ ... + anun=0
La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du parallélisme.
Une variété V est parallèle à l'intersection de 2 hyperplans affines H1 et H2 si et seulement elle est parallèle à chacun d'eux.
Et elle se généralise immédiatement à un nombre fini quelconque d'hyperplans.

Exemple 1

Dans l'espace ℝ3
le plan H1 défini par 2x-3y+z=1
et le plan H2 défini par 4x-6y+2z=3
sont strictement parallèles

Exemple 2

Dans l'espace ℝ3
le plan H1 défini par 2x-3y+z=1
et le plan H2 défini par 4x-6y+2z=2
sont confondus

Exemple 3

Dans l'espace ℝ3
Toute droite affine de vecteur directeur u(3,-2,0) est parallèle au plan d'équation 2x-3y+z=1.

Cas où une des variétés est représentée par un système d'équations cartésiennes et l'autre par une représentation paramétrique

Soit V de dimension p et W une variété de dimension q ≤ p.
On suppose que V est représentée comme intersection d'hyperplans H1, ... Hn-p par un système d'équations :
{ α 1,1 x 1 + . . . + α 1 , n p x n p + α 1 , n p + 1 x n p + 1 + . . . + α 1 , n x n = γ 1 α 2,1 x 1 + . . . + α 2 , n p x n p + α 2 , n p + 1 x n p + 1 + . . . + α 2 , n x n = γ 2 . . . . = . . . α n p x 1 + . . . + α n p , n p x n p + α n p , n p + 1 x n p + 1 + . . . + α n p , n x n = γ n
et que W est représentée par une représentation paramétrique :
{ x 1 = a 1 + k 1 β 1,1 + . . . + k q β 1 , q x 2 = a 2 + k 1 β 2,1 + . . . + k q β 2 , q . . . = . . . x n = a n + k 1 β n , 1 + . . . + k q β n , q
De sorte que les u j 1,j, β2,j, ... ,βn,j) sont autant de vecteurs directeurs de W.
Pour montrer que W est parallèle à V il suffit de montrer que chaque vecteur u j est un vecteur directeur de chacun des hyperplans Hi, donc de montrer que les m×p équations :
αi,1β1,j+ ... +αi,nβn,j = 0
pour 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p sont toutes vérifiées.

Exemple

Dans l'espace ℝ3
La droite définie par le système :
2x-3y+z=1
x+y-z=2
est parallèle à toute droite de vecteur directeur u(2,3,5)

Autre cas

Il n'est en général pas facile de voir directement le parallélisme de deux variétés linéaires si elles sont données toutes les deux par des systèmes d'équations cartésiennes ou bien toutes les deux par des représentations paramétriques.
Il peut arriver toutefois que les vecteurs directeurs de l'une apparaissent facilement comme combinaisons linéaires des vecteurs directeurs de l'autre, auquel cas le parallélisme s'en suit.
Faute de solution rapide évidente nous proposons donc d'appliquer la méthode ci-dessus en déterminant une représentation paramétrique pour la variété de plus petite dimension et une représentation cartésienne pour celle de plus grande dimension.

Exemple 1

Dans l'espace ℝ3
Toute droite de vecteur directeur u(1,2,3) est parallèle à Toute droite de vecteur directeur u(2,4,6)

Exemple 2

Dans l'espace ℝ3
Tout plan de vecteurs directeurs u(1,1,1) et u(0,1,0) est parallèle à tout plan de vecteurs directeurs u(1,2,1) et u(1,0,1).
En effet, les deux derniers vecteurs sont la somme et la différence des deux premiers.