Définition

Une variété linéaire est, en particulier, avec sa structure induite un espace affine.
On appelle 'représentation paramétrique' de la variété linéaire V la donnée d'un repère affine R' de V c'est à dire d'une origine P et d'une base B' de F sous espace directeur de V.
Si V est de dimension p et si B'=( u 1 , u 2 , , u p ), à tout p-uple (k1, k2, ... ,kp) de scalaires on associe un unique point Q de V déterminé par PQ = i = 1 p k i u i
Q s'appelle le point de 'paramètres' (k1, k2, ... ,kp).
Les représentations paramétriques, sont avec les systèmes d'équations cartésiennes, un autre mode de représentation des variétés linéaires.

Cas de la droite

Nous nous intéressons aux variétés linéaires de dimension 1 (droites affines).
Ces variétés sont caractérisées par un point P et un vecteur directeur u.
le point Q de paramètre k est défini par PQ=ku.
L'appliquette suivante vous permet de visualiser la représentation paramétrique d'une droite associée à un point P et un vecteur directeur u .
Vous pouvez fixer le paramètre k avec le curseur.
Cela fait vous voyez apparaître le point Q tel que PQ=ku
Vous pouvez tirer-déplacer le point P avec la souris.
Vous pouvez également modifier le vecteur u en l'attrapant par son extrêmité avec la souris.

Cas du plan

Nous nous intéressons aux variéts de dimension 2 (plans affines).
Une telle variété est caractérisée par un point P et deux vecteurs directeurs u et v, linéairement indépendants.
Le point Q de paramètre (k,h) est défini par PQ=hu+kv.
L'appliquette suivante vous permet de visualiser la représentation paramétrique d'un plan associé à un point P et deux vecteurs directeurs u et v.
Vous pouvez fixer les paramètres k et h avec les curseurs.
Cela fait vous voyez apparaître le point Q tel que PQ=hu+kv
Arrêtez la rotation par un simple clic sur le graphique quand la vision est optimale. Redémarrez l'animation de la même manière.
Si les paramètres aléatoires ne sont pas les meilleurs possibles, appuyer sur 'Autre exemple'.


Traduction avec des coordonnées

On suppose que l'espace entier A est rapporté à un repère affine R=(O,B) où B= ( v 1 , v 2 , , v n ) avec n ≥ p.
Chacun des vecteurs u j se décompose alors suivant la base B avec des coordonnées αj,i (1≤j≤p , 1≤i≤n) où αj,i est la coordonnée du vecteur u j suivant le vecteur v i .
Si (x1, x2, ... ,xn) sont les coordonnées de P dans R et si (y1, y2, ...,yn) sont les coordonnées de Q dans R, alors la relation vectorielle PQ = i = 1 p k i u i se traduit par n relations :
y i = x i + j = 1 p k j α j , i
pour i allant de 1 à n.
Ces relations permettent de calculer les coordonnées d'un point d'une variété dont on connait un jeu de paramètres.
Inversement pour tester si un point de coordonnées données appartient à la variété il faut tester si le système (généralement surdéterminé) en les inconnues kj (1≤j≤p) possède une solution.

Café Python

Le programme suivant calcule les coordonnées d'un point d'un plan de l'espace de paramètres donnés.
Il utilise le module 'reperes'.

Changement de représentation

Nous voyons qu'une variété linéaire peut être représentée (de façon non unique) de deux façons : Chaque façon a ses avantages et ses inconvénients. Par exemple la forme cartésienne est plus adaptée pour vérifier l'appartenance d'un point de coordonnées données à une variété. la forme paramétrique est plus adaptée pour générer les points d'une variété et effectuer certains calculs rendus par des fonctions dont les variables sont les paramètres en question. L'étude analytique de ces fonctions peut alors permettre de rechercher des extrema.
Il n'existe donc pas de méthode de représentation meilleure en soi qu'une autre. Il faut chosiir une représentation adaptée au problème à résoudre.

Passage des représentations cartésiennes aux représentations paramétriques

On se place dans un espace affine de dimension finie n rapporté à un repère cartésien.
Une variété linéaire V de dimension p ≤ n peut être représentée par un système de n-p équations cartésiennes indépendantes comme ceci :
{ α 1,1 x 1 + . . . + α 1 , n p x n p + α 1 , n p + 1 x n p + 1 + . . . + α 1 , n x n = β 1 α 2,1 x 1 + . . . + α 2 , n p x n p + α 2 , n p + 1 x n p + 1 + . . . + α 2 , n x n = β 2 . . . . = . . . α n p x 1 + . . . + α n p , n p x n p + α n p , n p + 1 x n p + 1 + . . . + α n p , n x n = β n
Quitte à renuméroter les vecteurs de base du repère on peut supposer que la matrice carrée :
α 1,1 α 1,2 . . . α 1 , n p α 2,1 α 2,2 . . . α 2 , n p . . . . . . . . . . . . α n p , 1 α n p , 2 . . . α n p , n p
est inversible.
Ceci prouve qu'à partir de la donnée des p nombres xn-p+1, xn-p+2, ...,xn le calcul des nombres
x1, ..., xn-p est possible, avec un résultat unique par résolution d'un système de Cramer.
D'où l'idée de prendre pour paramètres justement k1=xn-p+1, k2=xn-p+2, ... , kp=xn pour obtenir une représentation paramétrique de V.
Exemple traité
Soit dans l'espace ℝ3 la droite affine D représentée par le système de deux équations :
x+y-z=1
x-y+2z=0
Prenant t=z et resolvant le système en t, il vient :
x=1/2 -t/2
y=1/2+3t/2
z=t
qui est une représentation paramétrique de la droite D.
Nous obtenons ainsi imédiatement un point P(1/2,1/2,0) et un vecteur directeur u(-1/2,3/2,1) de cette droite

En sens inverse

Partons d'une représentation paramétrique de V variété de dimension p :
{ x 1 = a 1 + k 1 α 1,1 + . . . + k p α 1 , p x 2 = a 2 + k 1 α 2,1 + . . . + k p α 2 , p . . . = . . . x n = a n + k 1 α n , 1 + . . . + k p α n , p
où (a1, ... , an) sont les coordonnées d'un point de V et où pour chaque indice i (α1,i , α2,i , ... , αn,i) sont les composantes d'un vecteur directeur u i de V.
Pour chaque i il est donc impossible que tous les αj,i soient nuls (1 ≤j≤n).
On peut donc choisir au moins une equation pour 'extraire' (calculer) k1 en fonction des autres paramètres k2, .... ,kp ainsi que des constantes a1, ..., an, des constantes αi,j et d'au moins une variable parmi x1, ... , xn.
Cela fait on reporte la valeur calculée de k1 dans les autres équations. On se retrouve alors avec n-1 équatons ne comportant plus que les paramètres k2, ...,kp.
On poursuit ainsi le processus par élimination successive de k2, k3, etc...
On se retrouve à la fin avec un système de n-p équations ne comportant plus aucun paramètre et qui est donc un système d'équations cartésiennes de V.
Exemple traité
Soit la droite définie par un point P(1,2,3) et le vecteur directeur u(1,-1,2).
Une représentation paramétrique possible est :
x=1+t
y=2-t
z=3+2t
On extrait t de la première équation t=x-1, et on le reporte dans les deux autres, pour obtenir :
x+y=3
-2x+z=1
qui constitue un système d'équations cartésiennes pour la droite.