Dans tout ce qui suit nous faisons la supposition que A est un espace affine dont l'espace vectoriel associée est de dimension finie.

Définitions

Un 'repère affine' d'un espace affine A associé à un espace vectoriel E consiste en la donnée d'un couple formé d'un point O appelé origine et d'une base B de E. un tel repère sera donc noté formellement R=(O,B).
Les 'coordonnées' d'un point M dans un repère tel que ci-dessus sont les coordonnées du vecteur OM dans la base B.
Ainsi dire que M a pour coordonnées (α12, ... ,αn) dans le repère R=(O,B) signifie :
OM = i = 1 n α i u i
Si B est la base de E formée des vecteurs u i pour i ∈ {1, ... ,n}.
Remarquons tout de suite que :
La donnée de n+1 points affinement indépendants (M0, M1 , ..., Mn) dans un espace affine de dimension n procure immédiatement un repère affine en prenant (par exemple) M0 pour origine et (M0M1 , M0M2, ... ,M0Mn) comme base.

Café Python

Voici une appliquette qui vous permet de visualiser des repères affines aléatoires dans l'espace ℝ3.
Appuyer à répétition sur le bouton 'Nouvel Exemple'.
Un repère affine R=(M,u,v,w) sera généré à chaque fois.
Dans ce repère, le point S représenté a toujours (1,1,1) pour coordonnées.
Par contre dans le repère (M,(i,j,k)) ses coordonnées sont les coordonnées du vecteur MS.

Café Python

Le programme suivant, qui utilise le module 'affines', modélise les repères affines.
L'exemple donné est dans le corps des rationnels.
Il construit un repère affine d'origine P(1,2,3) en prenant pour base (u,v,w):
u=(1,2,1)
v=(0,1,3)
w=(1,0,2)
Il calcule les coordonnées du point M(7,8,9).