Théorème de Ceva

Hommage à Giovanni Ceva

Giovanni Ceva (Milan 7 décembre 1647 – Mantoue 15 juin 1734) était un mathématicien italien. Il est réputé pour l'important théorème de géométrie du triangle qu'il a redécouvert et qui porte son nom : le théorème de Ceva. Son frère, Tommaso Ceva, était un poète et un mathématicien réputé.

Il semble qu'avant lui Bernardo José Zaragoza y Vilanova, né à Alcalá de Chivert près de Valencia en 1627 et mort à Madrid, en 1679, jésuite hispano-catalan, mathématicien et astronome, contemporain de Juan Caramuel, appartenant au groupe des novateurs espagnols et parfois connu sous le nom de père Saragosse ait énoncé ce théorème.
Cependant, il était déjà connu, à la fin du XIe siècle, de Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, géomètre et roi de Saragosse. Celui-ci le démontre dans son Livre de perfection (Kitab al-Istikmal), célèbre en son temps mais dont le texte n'a été redécouvert qu'en 1995.

Le théorème de Ceva

Soit ABC un triangle, soient D, E et F trois points distincts des sommets et appartenant respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB).
Les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes ou parallèles si et seulement si DB ¯ DC ¯ × EC ¯ EA ¯ × FA ¯ FB ¯ = 1

Image: http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Ceva

Il existe de nombreuses manières de démontrer le théorème de Ceva.
Une des plus simples consiste à faire appel à la notion de barycentre, et à utiliser les deux propriétés suivantes :

Démonstration directe

Cas du parallélisme

L'application du théorème de Thalès d'une part dans le triangle (CBE), avec (DA) parallèle à (BE), d'autre part dans le triangle (BCF), avec (DA) parallèle à (CF) conduit à dire que :
EC ¯ EA ¯ = BC ¯ BD ¯ et FA ¯ FB ¯ = CD ¯ CB ¯
Par produit terme à terme de ces deux égalités on obtient le théorème.
Cas des droites concourantes
Comme nous l'avons remarqué plus haut nous avons :
DB ¯ DC ¯ = γ β
Mais pour les mêmes raisons :
EC ¯ EA ¯ = α γ et FA ¯ FB ¯ = β α
Le théorème s'obtient donc par produit terme à terme des 3 égalités.

Réciproque

Si les trois droites sont parallèles, il n'y a rien à démontrer.
Dans le cas contraire, deux au moins sont sécantes, on peut sans perdre de généralité, supposer que ce sont les droites (AD) et (BE) sécantes en M non situé sur [AB], [BC] ou [CA] et barycentre de (A,α),(B,β),(C,γ)}.
Comme (AM) rencontre (BC) en D et que (BM) rencontre (CA) en E, on peut écrire : DB ¯ DC ¯ = γ β et EC ¯ EA ¯ = α γ On a donc par produit :
DB ¯ DC ¯ × EC ¯ EA ¯ = α β
et puisque DB ¯ DC ¯ × EC ¯ EA ¯ × FA ¯ FB ¯ = 1 Il vient :
FA ¯ FB ¯ = β α
e qui assure que la droite (CM) coupe bien la droite (AB) en F.
Les trois droites sont bien concourantes en M.

Vérification expérimentale du théorème de Ceva

Voici une appliquette qui vous permet de faire varier au moyen des trois réglettes de gauche à droite :
Le point D sur la droite (BC)
Le point E sur la droite (AC)
Le point F sur la droite (AB)
A chaque fois le rapport M= DB ¯ DC ¯ × EC ¯ EA ¯ × FA ¯ FB ¯ est calculé et affiché en haut à droite.
Le point de concours unique est difficile à obtenir mais, pour raison de continuité, plus les trois droites (AD),(BE) et (CF) semblent concourantes et plus la valeur affichée doit être voisine de -1.

Notion de dualité

Les théorèmes de Ménélaüs et de Ceva sont dits duaux. L'un peut se déduire de l'autre et vice-versa dès qu'on dispose d'applications du plan dans lui-même transformant les points en droites et réciproquement. L'image de trois points alignés devient alors trois droites concourantes et réciproquement. De telles applications existent et nous en verrons plus tard des exemples.