Il existe de nombreuses manières de démontrer le théorème de Ceva.
Une des plus simples consiste à faire appel à la notion de barycentre, et à utiliser les deux propriétés suivantes :

• Si M est barycentre de {(A,α),(B,β)} distinct de A et B alors $\frac{\overline{\mathrm{MB}}}{\overline{\mathrm{MA}}}=-\frac{\alpha }{\beta }$
• Si M est barycentre de (A,α),(B,β),(C,γ)} non situé sur un côté du triangle ABC, (AM) rencontre (BC) en D si et seulement si $\frac{\overline{\mathrm{DB}}}{\overline{\mathrm{DC}}}=-\frac{\gamma }{\beta }$ à cause du théorème d'associativité des barycentres.

Démonstration directe

Cas du parallélisme

L'application du théorème de Thalès d'une part dans le triangle (CBE), avec (DA) parallèle à (BE), d'autre part dans le triangle (BCF), avec (DA) parallèle à (CF) conduit à dire que :
$\frac{\overline{\mathrm{EC}}}{\overline{\mathrm{EA}}}=\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{BD}}}$ et $\frac{\overline{\mathrm{FA}}}{\overline{\mathrm{FB}}}=\frac{\overline{\mathrm{CD}}}{\overline{\mathrm{CB}}}$
Par produit terme à terme de ces deux égalités on obtient le théorème.

Cas des droites concourantes

Comme nous l'avons remarqué plus haut nous avons :
$\frac{\overline{\mathrm{DB}}}{\overline{\mathrm{DC}}}=-\frac{\gamma }{\beta }$
Mais pour les mêmes raisons :
$\frac{\overline{\mathrm{EC}}}{\overline{\mathrm{EA}}}=-\frac{\alpha }{\gamma }$ et $\frac{\overline{\mathrm{FA}}}{\overline{\mathrm{FB}}}=-\frac{\beta }{\alpha }$
Le théorème s'obtient donc par produit terme à terme des 3 égalités.

Réciproque

Si les trois droites sont parallèles, il n'y a rien à démontrer.
Dans le cas contraire, deux au moins sont sécantes, on peut sans perdre de généralité, supposer que ce sont les droites (AD) et (BE) sécantes en M non situé sur [AB], [BC] ou [CA] et barycentre de (A,α),(B,β),(C,γ)}.
Comme (AM) rencontre (BC) en D et que (BM) rencontre (CA) en E, on peut écrire : $\frac{\overline{\mathrm{DB}}}{\overline{\mathrm{DC}}}=-\frac{\gamma }{\beta }$ et $\frac{\overline{\mathrm{EC}}}{\overline{\mathrm{EA}}}=-\frac{\alpha }{\gamma }$ On a donc par produit :
$\frac{\overline{\mathrm{DB}}}{\overline{\mathrm{DC}}}\times \frac{\overline{\mathrm{EC}}}{\overline{\mathrm{EA}}}=\frac{\alpha }{\beta }$
et puisque $\frac{\overline{\mathrm{DB}}}{\overline{\mathrm{DC}}}\times \frac{\overline{\mathrm{EC}}}{\overline{\mathrm{EA}}}\times \frac{\overline{\mathrm{FA}}}{\overline{\mathrm{FB}}}=-1$ Il vient :
$\frac{\overline{\mathrm{FA}}}{\overline{\mathrm{FB}}}=-\frac{\beta }{\alpha }$
e qui assure que la droite (CM) coupe bien la droite (AB) en F.
Les trois droites sont bien concourantes en M.