Girard Desargues

Girard Desargues, alias S.G.D.L. (le Sieur Girard Desargues Lyonnois comme il signe lui-même ses écrits) est un géomètre et architecte français né à Lyon le 21 février 1591 et décédé à Lyon en octobre 1661, considéré comme fondateur de la géométrie projective : il a donné son nom à la configuration de Desargues et au théorème de Desargues.

Dilatations

Dans tout ce paragraphe A désigne un espace affine associé à un espace vectoriel E.
Une 'dilatation' est une application du groupe affine dont l'application linéaire associée est soit une translation soit une homothétie.
Nous avons vu dans cette page que les dilations forment un sous-groupe du groupe affine.
Il résulte immédiatement de la définition que :
Une dilatation transforme toute variété linéaire en une variété linéaire qui lui est strictement parallèle.
Et donc, en particulier :
Une dilatation transforme toute droite en une droite qui lui est parallèle.
En outre cette propriété est caractéristique des dilatations.
Toute application du groupe affine de A transformant toute droite en une droite parallèle est une dilatation

Considérons en effet l'application linéaire u associée à f.
Si x et y sont des vecteurs indépendants de E. On a :
u(x)=λx
u(y)=μy
u(x + y)=ν(x + y)
Donc ν(x + y)= λxy.
D'où λ=μ=ν.
On suppose ici que A est un plan P (dima(A)=2).
Soient dans A deux droites parallèles D et D'.
Soient M et N deux points distincts de D.
Soient M' et N' deux points distincts de D'.
Dans ces conditions il existe une et une seule dilatation f vérifiant f(M)=M' et f(N)=N'.

Soit k tel que M'N'=kMN
(MM') et (NN') sont deux droites du plan P donc soient elles se coupent, soient elles sont parallèles.
Si elles sont parallèles k=1 et f est une translation.
Si elles se coupent en S, f est l'homothétie de centre S et de rapport k.

Le théorème de Desargues (forme faible)

On considère deux triangles ABC et A'B'C' dans le plan ou dans l'espace.
On appellera 'sommets correspondants' des couples de sommets tels que (A,A'), (B,B'), (C,C').
On appelera 'côtés correspondants' des couples de côtés tels que ((AB),(A'B')), ((AC),(A'C')), ((BC),(B'C')).
On se donne 6 points A,B,C,A',B',C' tous distincts dans un espace affine.
On suppose que A,B,C ne sont pas alignés et qu'il en est de même de A'B'C'.
On suppose que dans les triangles ABC et A'B'C' les côtés correspondants sont parallèles.
Dans ces conditions :
Soit les trois droites (AA'),(BB'),(CC') sont parallèles
Soit elles se coupent en un seul point (elles sont concourantes)

En vertu de ce qui précède, il existe une et une seule dilatation f dans le plan ABA'B' qui transforme A en A' et B en B'. Nous étendons cette dilatation à l'espace entier.
D'après ce qui précède (AC)//(A'f(C)) et (BC) // (B'f(C)).
Donc (A'C')=(A'f(C)) et (B'C')=(B'f(C)).
Donc, dans le plan A'B'C' {C'}=(A'f(C))∩(B'f(C))={f(C)} d'où C'=f(C).
Mais alors nous avons deux éventualités :
Soit (AA')∩(BB')=∅ f est alors une translation et (AA')//(BB')//(CC').
Soit (AA')∩(BB')={S} et f est une homothétie de centre S.
Les trois droites (AA'), (BB'), (CC') concourent alors en S.

Le théorème de Desargues (forme forte)

Le théorème de Desargues peut s'énoncer ainsi :
Si les droites (AA'),(BB') et (CC') sont concourantes en un point O et si on n'a aucune paire de côtés associés parallèles, alors :
les côtés (AB) et (A'B') se coupent en un point U.
Les côtés (AC) et (A'C') se coupent en un point V.
Les côtés (BC) et (B'C') se coupent en un point W.
Les points U,V,W sont alignés.

On suppose qu'on est dans un espace de dimension >=3.
Supposons (AA'),(BB'),(CC') concourantes en O et non coplanaires.
Alors (AB) et (A'B') sont coplanaires et dans le plan OAB elles se coupent donc en un point U.
Pour les mêmes raisons (AC) et (A'C') se coupent en un point V et (BC) et (B'C') se coupent en un point W.
Considérons les deux plans ABC et A'B'C', chacun des trois points U,V,W appartient à chacun de ces deux plans donc à leur intersection qui est une droite.
Supposons maintenant nos trois droites coplanaires.
Soit (DD') une autre droite contenant O, mais hors du plan contenant A, B, C, etc.
Les droites (AD) et (A'D') se coupent en P.
Les droites (BD) et (B'D') se coupent en Q.
Les droites (CD) et (C'D') se coupent en R.
En appliquant ce qui précède aux triplets (A,B,D) et (A',B',D'), on obtient que les points V, P, et Q sont alignés donc que le point Q appartient au plan (VDP). En raisonnant de même avec (A,C,D) et (A',C',D'), on voit que R appartient au plan (VDP).
Les points V,D,P,Q,R sont donc coplanaires.
Par symétrie il vient : U,V,W appartiennent tous les trois au plan contenant D,P,Q,R donc à l'intersection de ce plan et du plan (ABC), qui est une droite.
La réciproque est vraie
Pour une démonstration voir cet exercice.

Desargues interactif

Voici une appliquette vous permettant de visualiser le théorème de Desargues (forme faible) dans le plan affine.
Les points rouge sont déplaçables avec la souris.
Le curseur vous permet de fixer le rapport de la dilatation (observer le cas k=1).
Voici une appliquette vous permettant de visualiser le théorème de Desargues (forme forte) dans le plan affine.
Les points rouges A,B,C,A',B',C' sont déplaçables avec la souris.