Nous présentons dans ce chapitre quelques préliminaires.
Nous introduisons en particulier une figure plane jouant un rôle particulier, le parallélogramme. C'est cette figure qui est à l'origine d'une définition possible des vecteurs à partir des points. Ce qui rend cette figure intéressante, c'est les multiples propriétés qui permettent de la caractériser. En outre ses spécialisations futures liées à l'introduction d'une métrique sur un espace affine, telles que les rectangles, les carrés, les losanges ont également une importance pratique et théorique.
Nous introduisons également la valeur algébrique d'un segment sur un axe. C'est une notion susceptible de généralisations dans les espaces de dimension supérieure (parallélogramme dans le plan, parallélotope dans l'espace tri-dimensionnel). Nous verrons que le rapport de deux valeurs algébriques de segments pris sur un même axe, est indépendant du repère de l'axe et exprime les positions relatives des extrémités de ces segments. En particulier ce rapport est totalement indépendant de la notion de distance qui n'existe pas a priori dans les espaces affines 'purs'.
Il suffira d'observer que dans certains cas de figures simples, ce rapport est conservé par les applications affines. En appliquant ce résultat à des applications affines particulières nous obtiendrons à peu de frais des énoncés dont la démonstration classique était parfois laborieuse.
Nous présenterons des résultats liés à la seule structure affine, et donc ne faisant intervenir ni dans l'énoncé ni dans la démonstration les notions de distance et d'angle qui sont des notions de géométrie euclidienne que nous verrons ultérieurement.