Le personnage de Menelaüs

Le paragraphe qui suit est un copié-collé de la page de Wikipédia consacré à Ménélaüs :
Ménélaüs ou Ménélaos d'Alexandrie (fin du Ier siècle) est un mathématicien et astronome grec. Par analogie avec la propriété qu'ont les droites dans le plan, de déterminer le plus court chemin entre deux points, il introduisit la notion de géodésique sur la sphère. On sait par un dialogue de Plutarque, De facie in orbe lunæ, que Menelaüs passa une partie de sa vie à Rome, mais Pappus d'Alexandrie et Proclus laissent entendre qu'il avait étudié dans sa jeunesse à Alexandrie. Ptolémée, au second siècle de notre ère, dit également dans son Almageste (chap. VII.3), que Ménélaos observa deux occultations des étoiles α Virginis (Spica) et β Scorpii par la Lune à Rome en janvier 98, à seulement quelques jours d'intervalle. Pour Ptolémée, elles confirmaient la précession des équinoxes, un phénomène découvert par Hipparque au deuxième siècle av. J. C. Les Sphériques est le seul traité de Ménélaos qui soit parvenu jusqu'à nous, et cela par une traduction arabe. Ces trois livres traitent de la géométrie de la sphère et de ses applications à l'astronomie. C'est ce traité qui définit le triangle sphérique comme formé par trois arcs de grands cercles, les trilatéraux, et qui contient le théorème suivant, dit théorème de Ménélaüs, étendu aux triangles sphériques.

Le théorème de Ménélaüs

Si D, E et F sont trois points des côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle ABC, alors D, E et F sont alignés si et seulement si :
DB ¯ DC ¯ × EC ¯ EA ¯ × FA ¯ FB ¯ = 1
Une telle droite est appelée une 'ménélienne' du triangle ABC.
Image:http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Ménélaüs

Théorème direct:
La parallèle à (BC) menée par A coupe (FD) en A'.
D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles FBD et EDC, on a respectivement :
Égalité (1) FB ¯ FA ¯ = BD ¯ AA ' ¯
Égalité (2) CD ¯ AA' ¯ = EC ¯ EA ¯
On obtient l'égalité voulue en multipliant les deux membres de l'égalité (1) par les inverses des deux membres de l'égalité (2).
Réciproque :
Si (EF) et (BC) étaient parallèles, on aurait compte tenu de l'hypothèse :
DB ¯ DC ¯ × EC ¯ EA ¯ × FA ¯ FB ¯ = 1
En appliquant Thalès dans le triangle ABC :
EA ¯ EC ¯ = FA ¯ FB ¯
Et en appliquant à nouveau l'hypothèse :
DB ¯ DC ¯ = 1 , c'est à dire B=C ce qui est impossible.
(EF) et (BC) sont donc sécantes et soit X leur intersection.
En appliquant le théorème direct on a:
XB ¯ XC ¯ × EC ¯ EA ¯ × FA ¯ FB ¯ = 1
Donc X et D divisent [BC] dans le même rapport. D'où X=D et l'alignement des 3 points E,F,D.

Vérification expérimentale du théorème de Ménélaüs

Voici une appliquette qui vous permet de faire varier les 6 points A,B,C,D,E,F avec la souris :
Le point D sur la droite (BC)
Le point E sur la droite (AC)
Le point F sur la droite (AB)
A chaque fois le rapport m= DB ¯ DC ¯ × EC ¯ EA ¯ × FA ¯ FB ¯ est calculé et affiché en haut à droite.
L'alignement absolu est difficile à obtenir mais, pour raison de continuité, plus les points semblent alignés et plus la valeur affichée doit être voisine de 1.