Papppus d'Alexandrie

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Pappus d'Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Actif vers 300, il est un des plus importants mathématiciens de la Grèce antique, connu pour son ouvrage Synagoge (traduit en français sous le titre de « Collection mathématique»). Il naquit à Alexandrie en Égypte. Bien que très peu de choses sur sa vie soient connues, les écrits nous suggèrent qu'il fut un précepteur. Son principal ouvrage est connu sous le nom Synagoge (vers 340 de notre ère). Il comprend au moins huit volumes, le reste a été perdu, la Collection couvre un grand nombre de rubriques mathématiques, incluant la géométrie, les mathématiques récréatives, la construction d'un cube du double d'un cube donné, de polygones et de polyèdres. C'est par Pappus que nous sont parvenues les sources les plus riches des mathématiques grecques, et que nous connaissons les titres et le contenu des grands traités de l'époque hellénistique (la Petite Astronomie, le Trésor de l'Analyse). Il introduisit la notion de rapport anharmonique. En géométrie, son nom est resté attaché de nos jours à deux théorèmes de géométrie plane.
L'un et l'autre peuvent s'énoncer de manière unique dans le cadre de la géométrique dite 'projective'.
La figure de base est formée de deux droites D et D' situées dans un même plan P. A,B et c sont trois points de D, A', B' et C' sont trois points de D'.

Le 'petit' théorème de Pappus

Si (AB') // (BA') et (BC') // (CB') alors (AC') // (A'C) .

La preuve est fondée sur la notion de dilatation
(AB')//(BA') ⇒ ∃! f dilatation, telle que f(A)=B et f(B')=A'.
(BC') // (CB') ⇒ ∃! g dilatation, telle que g(B)=C et g(C')=B'.
Donc gof(A)=C et fog(C')=A'.
Mais alors soit D et D' sont parallèles, alors f et g sont des translations et commutentent, soit D et D' sont sécantes en un point S alors f et g sont des homothéties de centre S.
Dans les deux cas fog=gof=h est une dilatation.
Il en résulte que (AC') est parallèle à (CA').

Le 'grand' théorème de Pappus

Si (AB') et (A'B) sont sécantes en M et si (BC') et (CB') sont sécantes en N alors (AC') et (A'C) sont sécantes en un point P situé sur la droite (MN) .


Marquons 3 nouveaux points : Appliquer le théorème de Menelaüs pour le triangle XYZ traduisant :
Les alignement de {C',B,N}, {A,B',M} et {A',C,P}
Multiplier les égalités résultantes --> résultat p
Appliquer le théorème de Menelaüs pour le triangle XYZ traduisant :
Les alignements de {A,B,C} et {A',B',C'}
Multiplier les égalités résultantes --> résultat q
Faire le quotient p/q et simplifier.
Vous obtenez l'alignement de M,N et P par Menélaüs encore.

Pappus interactif

Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le petit théorème de Pappus.
Vous pouvez tirer-déplacer les points A,B,C, A' en rouge sur le graphique.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le grand théorème de Pappus.
Vous pouvez tirer-déplacer les points A,B,C, A',B',C' en rouge sur le graphique.