Nous nous plaçons dans un plan affine P, c'est à dire dans un espace affine de dimension 2.

Quelques définitions générales

Une 'ligne brisée' de P consiste en la donnée d'une suite finie de points de A, disons A0,A1,...,An. Une telle ligne brisée est dite 'fermée' si An=A0, dans ce cas on dit encore que c'est un 'polygone'. Les points A0, A1, ... , An-1 s'appellent les 'sommets' du polygone.
Un polygone à quatre sommets s'appelle un 'quadrilatère'.
Les segments [A0A1], [A1A2], ... ,[An-1A0] s'appellent les 'côtés' du polygone.
Dans le cas des quadrilatères, par exemple, nous utiliserons plus souvent une notation ABCD de préférence à A0, A1, A2, A3. Les côtés sont donc [AB], [BC], [CD] et [DA].
Les segments [AC] et [BD] s'appellent les 'diagonales' du quadrilatère ABCD.
Des côtés tels que [AB] et [BC] ayant un sommet commun, sont dits 'consécutifs'.
Dans un quadrilatère pour désigner une paire de côtés non consécutifs, on parlera de côtés 'opposés'. [AB] et [CD] sont des côtés opposés de même que [BC] et [DA].

Parallélogrammes

Un quadrilatère ABCD d'un plan affine P est appelé un parallélogramme si AB=DC
Voici un parallélogramme :

Conditions équivalentes (diverses caractérisations)

On peut pour définir un quadrilatère utiliser n'importe quelle paire de côtés opposés.
ABCD parallélogramme ⇔ BC=AD

En effet par la relation de Chasles AC=AB+BC=AD+DC. Donc AB=DCBC=AD.
ABCD parallélogramme propre (non aplati) ⇔ Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leurs milieux.

En effet si I est le point d'intersection de [AC] et [BD] alors DI+IC=AI+IB
De là nous tirons :
IB+ID=IA+IC
Mais dans l'égalité ci-dessus les deux vecteurs sont non colinéaires. Ils ne peuvent être égaux que s'ils sont tous deux nuls.
Supposons réciproquement que le milieu I de [AC] est également le milieu I de [BD]. Alors les segments [AB] et [CD] s'échangent dans la symétrie centrale de centre I. Il en résulte bien que AB=DC. Il va de soi que dans un parallélogramme les deux paires de côtés opposés sont parallèles. Ce résultat possède une réciproque.
Si ABCD est un quadrilatère (propre) tel que les droites (AB) et (CD) d'une part (AD) et (BC) d'autre part soient parallèles, alors ABCD est un parallèlogramme.

En effet posons AB=u et BC=v.
Alors avec les hypothèses de l'énonce DCu et ADv
Donc, utilisant la relation de Chasles il vient : AC= u+vuv
Les vecteurs u et v étant non colinéaires, il en résulte que λ=μ=1.

Image par un élément du groupe affine

Le résultat suivant est souvent utile :
Toute application affine bijective transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles.
En effet si f est une application affine ayant u pour application linéaire associée alors si x est un vecteur directeur commun des deux doites parallèles D1 et D2, u(x) est un vecteur directeur des deux droites D'1 et D'2 images de D1 et D2 par f respectivement. Donc D'1 et D'2 sont parallèles.
Nous en tirons immédiatement la conséquence suivante :
L'image d'un parallèlogramme par une application affine bijective est un parallélogramme.
Il suffit pour le voir d'utiliser la caractérisation des parallélogrammes par les paires de côtés opposés parallèles.