Valeur algébrique d'un segment

Un 'axe' consiste en la donnée d'un espace affine de dimension 1 (une droite affine donc) et d'un repère affine sur cette droite, c'est à dire la donnée d'une origine et d'un vecteur directeur.
Soit donc A un axe et M,N deux points de l'axe.
On désigne par MN ¯ le nombre xN-xM, et on appelle ce nombre la 'valeur algébrique' du segment [MN].
Il résulte immédiatement de la définition que la valeur algébrique d'un segment ne dépend pas de l'origine (mais elle dépend du vecteur unitaire).

Cas de trois points alignés

On se donne sur un axe 3 points M,N,P. On suppose en outre que P ≠ N et on considère le rapport PM ¯ PN ¯
Nous avons alors le résultat suivant :
Le rapport ci-dessus ne dépend pas du repère de l'axe, mais seulement des positions respectives des trois points sur la droite.
Nous avons déjà vu précédemment que ce rapport ne dépend pas de l'origine.
Il suffit de voir maintenant qu'il ne dépend pas du vecteur unitaire.
Soient u et v deux vecteurs directeurs de de l'axe avec v = k u où k est un scalaire non nul.
Soit α la mesure algébrique PM ¯ quand on prend le vecteur u pour vecteur unitaire.
Soit β la mesure algébrique PN ¯ quand on prend le vecteur u pour vecteur unitaire.
Notre rapport vaut donc α/β dans le cas où u est choisi pour vecteur unitaire.
Si maintenant on choisit v pour vecteur unitaire.
On a PM ¯ = (1/k)α et PN ¯ = (1/k)β
De sorte que le rapport est inchangé.
Remarquons que PM ¯ PN ¯ =r ⇔ PM = r PN PM r PN = 0 ⇔ P barycentre du système ((M,1),(N,-r)) quand r ≠ 1 c'est à dire quand M ≠ N
Si MA ¯ MB ¯ = k on dit que M divise le segment [AB] dans le rapport k.
On remarquera qu'il resulte de la définition des espaces affines qu'il n'existe qu'un seul point divisant un segment dans un rapport donné k ≠ 1.
En effet MA ¯ MB ¯ = k MA = k MB MA = k ( MA + AB ) AM = k k 1 AB
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le rapport.

Transformation par une application affine bijective

Soient M,N,P trois points distincts sur une même droite d'un espace affine A et f une application affine bijective de A dans A'.
Soient M',N',P' les images respectives de M,N,P par f dans A'.
Alors M',N' et P' sont alignés et on a : PM ¯ PN ¯ = P'M' ¯ P'N' ¯
Cela résulte immédiatement du résultat précédent et de la caractérisation des applications affines par conservation des barycentres.

Birapports

Soient 4 points alignés et distincts M,N,P,Q. On appelle 'birapport' ou 'rapport anharmonique' de ces 4 points le nombre PM ¯ PN ¯ QM ¯ QN ¯ = PM ¯ PN ¯ . QN ¯ QM ¯
Comme dans le cas précédent, le birapport est inchangé quand on transforme les 4 points par une application affine bijective. Mais on verra qu'il reste inchangé par d'autres applications non affines.
Voici une autre définition
On dit de 4 points alignés M,N,P,Q qu'ils forment une 'division harmonique' si leur birapport est égal à -1.
Cela signifie que les points P et Q divisent le segment [MN] dans le même rapport, l'un des deux points P et Q étant intérieur au segment [MN] et l'autre extérieur à ce segment.
On dit encore dans ce cas que Q est le 'conjugué harmonique' de P
Cette appliquette vous permet de voir des birapports calculés.
Les points P et Q sont déplaçables.