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Hommage à Thalès de Milet

Thalès de Milet appelé communément Thalès (en grec ancien Θαλής / Thalês), était un philosophe et savant grec né à Milet vers 625 av. J.-C. et mort vers l'an 547 av. J.-C. Il fut l'un des Sept sages de la Grèce et le fondateur présumé de l'école milésienne.
Voici quelques unes de ses représentations :

Le théorème de Thalès

Soit D,D' et D" trois droites parallèles distinctes.
Soit Δ et Δ' deux droites non parallèles aux trois premières.
On désigne par M,N,P les points d'intersection de Δ avec D,D' et D" respectivement.
On désigne par M',N',P' les points d'intersection de Δ' avec D,D' et D" respectivement.
Dans ces conditions nous avons : MN ¯ MP ¯ = M ' N ' ¯ M ' P ' ¯

La preuve est simple; la projection de Δ sur Δ' parallèlement à D conserve les rapports puisqu'elle est affine (voir page précédente).
De la même façon on montre que MN ¯ NP ¯ = M ' N ' ¯ N ' P ' ¯
En outre un petit calcul algébrique donne MN ¯ M ' N ' ¯ = MP ¯ M ' P ' ¯
En outre, des permutations circulaires des points M,N et P donnent des énoncés semblables.
Le théorème de Thalès possède une forme de réciproque.
Avec les notations du théorème ci-dessus et si l'on suppose seulement que D et D" sont parallèles, et si de plus MN ¯ NP ¯ = M ' N ' ¯ N ' P ' ¯ alors D' est parallèle à D et D"".
Soit N" le projeté de N sur Δ' parallèlement à D et D". Alors N" partage le segment [M'P'] dans le même rapport que N', donc N'=N" d'après les résultats de la page précédente.

Cas particulier

On peut étudier le cas où Δ et Δ' se coupent sur D, c'est à dire quand M=M'.

Le théorème de Thalès prend alors une forme spéciale :
Sous ces hypothèses MN ¯ MP ¯ = M ' N ' ¯ M ' P ' ¯ = NN ' ¯ PP ' ¯
La première égalité n'est rien d'autre que l'application de la forme générale du théorème de Thalès.
La seconde résulte de NN ' = NM + M ' N ' et PP ' = PM + M ' P '

Conservation du birapport par projection centrale

Soit 4 droites concourantes en un point S et distinctes. On considère deux droites Δ et Δ' parallèles à aucune de ces quatres droites, ne passant pas par S et coupant donc les 4 droites précédentes en A,B,C,D pour Δ et A',B',C',D' pour Δ'.
Dans ces conditions le birapport des 4 points ABCD est égal au birapport des 4 points A'B'C'D'.

On trace la parallèle à (SA) passant par B, elle coupe (SC) en N et (SD) en M.
On trace la parallèle à (SA) passant par B’,elle coupe (SC) en N’ et (SD) en M’.
On applique le théorème de Thalès dans les triangles SAC et SAD :
SA ¯ NB ¯ = CA ¯ CB ¯ = SA ¯ MB ¯ = DA ¯ DB ¯
Le birapport de ABCD vaut donc SA ¯ NB ¯ ÷ SA ¯ MB ¯ = MB ¯ NB ¯
On montre de même que le birapport de A'B'C'D' vaut M'B' ¯ N'B' ¯
En considérant l’homothétie de centre S qui transforme M en M, N en N’,B en B’
On peut en conclure que MB ¯ NB ¯ = M'B' ¯ N'B' ¯
CQFD.

Faisceau harmonique

On considère 4 droites concourantes comme ci dessus avec une sécante Δ qui coupe le faisceau en 4 points A,B,C,D. On dit que le faisceau est 'harmonique' si les 4 points ABCD forment une division harmonique.
On désignera également par 'faisceau harmonique' un ensemble de 4 droites parallèles et distinctes telle qu'une sécante quelconque à ces quatre droites les coupe en 4 points A,B,C,D formant une division harmonique.
Il résulte du théorème précédent que toute sécante à un faisceau harmonique de droites concourantes coupe ce faisceau suivant une division harmonique.
Par ailleurs si Δ est une droite coupant un faisceau harmonique de droites parallèles suivant une division harmonique et si Δ' est une autre sécante, la projection sur Δ' parallèlement à la direction du faisceau étant une application affine elle transforme les 4 points de Δ A,B,C,D en division harmonique en quatre points A',B',C',D' de Δ' en division harmonique également. D'où nous concluons :
Le même résultat vaut pour les faisceaux harmoniques de droites parallèles.