Définitions

La 'probabilité' d'un évènement correspond au pourcentage de chances que cet évènement a de se produire.
Cette probabilité peut s'exprimer en pourcentage, mais plus généralement on l'exprime en rapport à l'unité 25% sera traduit par 1/4.
Cette définition présuppose que ce rapport existe, mais ce n'est pas une évidence. Aussi nous allons commencer à étudier quelques cas particuliers simples dans lesquels cette notion est sinon évidente, au moins très intuitive.

Cas de l'équiprobabilité

Nous examinons une série de cas simples, déjà étudiés auparavant, où les évènements élémentaires doivent avoir chacun la même propabilité de se produire.

Lancer d'une pièce

Si la pièce est 'normale', (symétrique et homogène) chaque face doit avoir la même probabilité d'apparaître, soit 1/2.

Lancer d'un dé

Nous qualifions un dé de 'parfait' s'il est géométriquement et physiquement homogène, si son centre de gravité correspond bien avec son centre géométrique, si ses faces sont bien planes et lisses, bref si aucune face n'est privilégiée par la forme ou par la densité du matériau.
Pour un tel dé il est logique de présumer que la probabilité d'apparition de chaque face est de 1/6.

Tirage d'une carte

Comme dans les cas précédent si les cartes sont indistinguables au verso, si elles sont neuves et glissent parfaitement, la probabilité qu'une carte particulière soit tirée est de 1/52.

Probabilités statistiques

Dans tous les cas étudiés jusqu'ici nous avons affaire à des probabilités 'a priori' estimées sur la base de la description de l'épreuve et du protocole, mais peut-on décider qu'un dé est 'parfait' avant de l'avoir mis à l'épreuve ?
Comme nous l'avons vu précédemment la répétition d'une même épreuve un grand nombre de fois, disons n, permet de constituer une série statistique dont les modalités sont les résultats possibles de l'expérience (évènement élémentaires).
Ainsi, si nous lançons notre dé n fois, et si la face 1 apparait n1 fois, la fréquence de cette face sera n1/n. Plus généralement si la face i apparait ni fois, sa fréquence sera ni/n, et on aura toujours
i = 1 6 n i n = 1
Evidemment, les fréquences ni/n seront à chaque fois différentes.
Voici une appliquette qui permet de simuler le lancer répété d'un dé, en simulant d'un seul coup 1000 lancers. On utilise ici un générateur de nombres pseudo-aléatoires et nous ne faisons, bien sûr, que vérifier ce générateur et non un quelconque dé physique. Ce générateur est construit à partir de la fonction java Math.random(), censée renvoyer un flottant uniformément réparti sur l'intervalle [0,1].

Appuyer, à répétition, plusieurs fois sur le bouton '+1000' et vous aurez un effet cumulatif des résultats.
Le bouton 'Recommencer' vous permet de remettre les compteurs à zéro.
Ce que vous constatez c'est que plus le nombre de lancers est grand et plus la hauteur des barres de l'histogramme semble s'uniformiser, ce qui tend à prouver 'expérimentalement' notre propos sur l'uniformité du générateur et donc sur le fait que notre 'dé électronique' est parfait.

Probabilités non uniformes

Nous considérons maintenant des situations où tous les résultats de l'expérience n'ont pas la même chance de se produire.
Voici une appliquette qui permet de simuler le lancer répété d'un dé pipé ayant 2 faces 1 et aucune face 6, en simulant d'un seul coup 1000 lancers.

Dans ce cas le modèle sera plutôt :

Distribution de probabilité

Dans le cas des univers finis à n évènements élémentaires ω1, ... ,ωn on appelle 'distribution de probabilité' la suite des couples (ωi, pi) où la suite pi(1≤i≤n) est une suite de nombres entre 0 et 1 telle que p1+p2+ ... +pn=1.

Probabilité d'un évènement non nécessairement élémentaire (cas fini)

Nous nous limitons ici au cas des distributions sur des univers finis.
Nous définissons dans ce cas la probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le composent, soit formellement :
P ( E ) = i ω i E p i
Ce qui fait que dans le cas des distributions uniformes (équiprobabilité des évenements élémentaires) nous retrouvons la formule bien connue :
P ( E ) = Nombre de cas favorables Nombre de cas possibles

Exemples de calcul

Probabilités uniformes
Avec un jeu de bridge :
Probabilités non uniformes
Avec notre dé pipé ayant deux faces 1 et aucune face 6 :

Cas des univers infinis

Nous reprenons ici le cas du tir aléatoire uniforme dans un carré de côté 1. L'application suivante permet de générer 100 tirs aléatoires dans le carré. Un succès correspond à un tir dans le cercle. Après chaque série de 100 tirs s'affiche le rapport succès/total.

On considère l'évènement E "le tir est à l'intérieur du cercle de rayon 0.5".
Quelle est la probabilité de cet évènement ?
Il est logique, si le tir est vraiment uniforme, de considérer que la probabilité de cet évènement est directement proportionnelle à la surface du cercle (revoir méthode de Monte-Carlo) donc P ( E ) = π 4 ≈0.78540
Et plus généralement, puisque le carré entier a pour surface 1, la probabilité d'une partie mesurable du carré (ayant une aire) comme étant l'aire de cette partie.
Donc si K est un carré de côté 2ε tracé dans notre carré de référence P(K)=4ε2.
Si maintenant M est un point particulier du carré, associé à l'évènement élémentaire {M}, quelle peut être la probabilité de cet évènement élémentaire ?
Il est raisonnable d'attendre que si E implique F alors P(E) ≤ P(F); elle doit donc être inférieure à tous les nombres K=4ε2. Or ces quantités tendent vers 0 quand ε tend vers 0.
Il s'en suit que P({M}) ne peut être que nulle!
Donc dans ce cas, la situation est plus complexe, tous les évènements élémentaires ont une probabilité nulle, mais les évènements plus généraux peuvent avoir des probabilités non nulles.

Un autre exemple, l'aiguille de Buffon

C'est un problème classique. On dispose d'un parquet avec des lattes de largeur a.
On laisse tomber sur ce parquet un aiguille de longueur l.
Quelle est en fonction de a et l la probabilité que l'aiguille chevauche deux lattes ?
Voici une applet qui simule cettte épreuve aléatoire.
Vous pouvez faire varier les paramètres a et l avec les curseurs.
Appuyer sur le bouton 'Lâcher aiguille' pour simuler la chute d'une aiguille.

Pour une solution complète de ce problème voir exercice 01.