Nous définissons ci-après les paramètres dits 'de position' permettant de se faire une idée rapide de l'ensemble des valeurs d'un paramètre.

Mode

Une 'valeur modale' (ou mode) est une modalité d'effectif maximal.
Une telle valeur peut être unique mais pas nécessairement.

Médiane

La 'médiane' est la valeur (le plus souvent fictive) partageant la population en deux classes de même effectif.
Obtention de la médiane : On commence par classer les n modalités par ordre croissant.

Moyenne

A l'inverse des deux paramètres précédents multiples ou vagues, la moyenne bénéficie d'une définition parfaitement rigoureuse. Ce serait, après mutualisation, la valeur commune des modalités de tous les individus si ces modalités étaient toutes égales.
La 'moyenne' (d'un caractère, d'une série statistique) est la somme de toutes les modalités divisée par l'effectif total de la population.
On suppose que la série est donnée par (x0, x1, ... ,xn-1) chaque xi étant la modalité de l'individu de rang i et les xi n'étant pas forcément tous distincts. La moyenne est alors donnée par :
μ = i = 0 n 1 x i n
Si maintenant on suppose que la série est donnée par des couples (xi,ei) où les xi 0 ≤ i < p sont les valeurs distinctes prises par le caractère et où ei est l'effectif de la modalité xi alors la moyenne est donnée par :
μ = i = 0 p 1 x i e i n = i = 0 p 1 x i f i
où fi=ei/n est la fréquence de la modalité xi.

Calcul de la moyenne à partir d'une décomposition en classes

On suppose que la population est partagée en classes C0, C1, ... ,Cp correspondant à des intervalles [x0,x1[, [x1,x2[ , .... , [xp-1,xp].
On suppose en outre que les effectifs de ces classes e0, e1, ... ,ep-1 sont tous connus.
Peut-on, avec ces données effectuer un calcul exact ou approché de la moyenne de la série ?
Un calcul exact non, tant qu'on ne connait pas la répartition des modalités dans chaque classe.
Mais pour une valeur approchée on peut faire l'hypothèse que dans une même classe tous les individus ont pour caractère le centre de la classe.
Dans ce cas si yi=(xi+xi+1)/2, la moyenne estimée sera :
μ = i = 0 p 1 y i e i n
Par contre, si les moyennes μi de chaque classe sont connues, la moyenne exacte de la population est donnée par :
μ = i = 0 p 1 μ i e i n
Cela résulte de la propriété d'associativité des barycentres.
NB: La moyenne d'un caractère X se note aussi souvent X

Café Python

Calcul de valeurs modales :

Calcul de valeurs médianes :

Calcul de moyenne :

Même chose mais avec fonction prédéfinie 'sum':