Nous vous conseillons, si vous ne l'avez déjà fait, de voir en préambule cette page du cours de statistique concernant le partage d'une population en classes.

Définition

Pour toute variable aléatoire X sur un espace probabilisé (Ω, ,P), et à valeurs réelles, on définit la 'fonction de répartition' FX de X (notée tout simplement F quand il n'y a pas d'ambiguïté sur X) par :
F(x)=P(X≤x)
Ici X≤x est une écriture raccourcie pour {ω ∈ Ω | X(ω)≤x} (qui est bien un évènement, compte tenu de la définition générale des v.a. puisque c'est X-1(]-∞,x[)).

Propriétés

Il résulte immédiatement de la définition que la fonction de répartition d'une v.a. est une fonction croissante au sens large prenant ses valeurs dans l'intervalle [0,1].
En effet si x2>x1 F(x2)=F(x1)+P( x1 < X ≤ x2) et
P( x1 < X ≤ x2) ≥ 0.
En tout point x, la fonction de répartition d'une v.a. possède une limite à droite et une limite à gauche.
C'est en effet une propriété des fonctions monotones (revoir cette page).
La fonction de répartition d'une v.a. est continue à droite en tout point x.
En effet soit (xi) 0≤i≤n une suite strictement décroissante tendant vers x.
Pour tout i soit Pi l'évènement x < X ≤ xi.
Alors P(Pi)=F(xi)-F(x).
On a Pi+1 ⊆ Pi ∀ i.
En outre i P i = Ø
La démonstration résulte donc de ce résultat (axiome de continuité).
lim x F ( x ) = 0 et lim x + F ( x ) = 1
Démonstration utilisant l'axiome de continuité, analogue à la précédente, en considérant une suite tendant vers -∞ et une autre tendant vers +∞.
L'ensemble des points de discontinuité d'une fonction de répartition est au plus dénombrable.
C'est une propriété plus générale des fonctions monotones.
En effet si F présente un saut en x, pour raison de densité, on peut toujours trouver un rationnel dans l'intervalle ]F(x), F(x+)[. On fabrique ainsi une application injective de l'ensemble des discontinuités de F dans l'ensemble dénombrable des rationnels, car si y>x les deux intervalles ]F(x), F(x+)[ et ]F(y), F(y+)[ sont disjoints.
Par la suite, nous désignerons par 'propriétés caractéristiques' les 4 propriétés précédentes des fonctions de répartition des variables aléatoires.
  1. F est croissante
  2. F est partout continue à droite
  3. lim x F ( x ) = 0
  4. lim x + F ( x ) = 1

Cas des univers finis

La fonction de répartition s'obtient par cumul de la loi de répartition.
Voici ce que cela donne dans le cas de l'exemple de la page précédente (somme des deux dés).
-∞<x<2 F(x)=0
2≤x<3 F(x)=1/36
3≤x<4 F(x)=3/36
4≤x<5 F(x)=6/36
5≤x<6 F(x)=10/36
6≤x<7 F(x)=15/36
7≤x<8 F(x)=21/36
8≤x<9 F(x)=26/36
9≤x<10 F(x)=30/36
10≤x<11 F(x)=33/36
11≤x<12 F(x)=35/36
12≤x<+∞ F(x)=1

Cas des univers dénombrables

Considérons la loi géométrique de paramètre p.
Pour cette loi l'univers des possibles est {1,2, ...., n, ...}=* et P ( { i } ) = p q i 1 .
Ici q=1-p.
Posant X(n)=n, nous obtenons ainsi une variable aléatoire.
Soit F la fonction caractéristique de X.
F ( n ) = p i = 1 i < n q i 1 = p i = 0 n 2 q i = 1 q n 1
En outre F est constante sur chaque intervalle ]n,n+1[.

Image wikipédia

Cas des univers de cardinal au moins continu

Un exemple simple

Prenons un tir aléatoire uniforme dans un disque de rayon R.
Ainsi l'univers des possibles se confond avec les couples ω=(u,v) tels que u²+v²≤1.
Soit X la variable aléatoire X(ω)=√(u²+v²).
Alors si F est la fonction de répartition de X on a F(x)=P(u²+v²≤x²).
Cet évènement correspond à :
Sa probabilité est donc : Voici la représentation graphique de cette fonction de répartition dans le cas où R=1 :

Cette fonction est la primitive de la fonction linéaire par morceaux suivante :

que nous appelerons sa densité.

Variables aléatoires uniformément continues

Bien que cette définition, dans le cadre de la théorie de l'intégration de Lebesgue (cadre idéal pour la présentation du calcul des probabilités), soit un peu plus complexe, nous adopterons la version simplifiée suivante :
Une fonction F est dite 'absolument continue', si elle est dérivable sauf peut-être en quelques points et si, f étant sa dérivée on a:
F ( x ) = x f ( u ) du
f s'appelle alors la 'densité' de F.
C'est par exemple le cas dans l'exemple précédent la fonction F étant dérivable en tous points sauf en x=1.
Dans le cadre de ce cours, pour les univers non dénombrables, nous ne considérerons en pratique que le cas des v.a. à densité.
Dans ce cas on a la formule :
P ( a < X b ) = a b f ( u ) du

Répartition uniforme

Une v.a. X, absolument continue est dite 'uniformément répartie' sur un intervalle [a,b], si sa densité de probabilité est constante sur cet intervalle et nulle en dehors.
Il résulte de cette définition que si X est uniformément répartie sur [a,b], sa fonction de répartition vérifie :
F x = 0   si   x < a x a b a   si   x a , b 1   si   x > b

Le théorème de la réciproque

Ce théorème affirme que :
Toute fonction F satisfaisant aux 4 propriétés caractéristiques énoncées plus haut, est la fonction de répartition d'une variable aléatoire X définie sur l'espace probabilisé ([0,1],,P) où est la tribu des boréliens sur [0,1] et P la mesure unfiforme définie dans cette page.
La fonction X est donnée par :
X ( ω ) = Inf { x F ( x ) ω }
Si F est une bijection bicontinue d'un intervalle I sur [0,1] X est tout simplement la réciproque de F.
Ce résultat sera simplement admis.