Irénée-Jules Byenaimé
(1796-1878/FR)
Pafnuti Lvovich Tchebichev
(1821-1894/RU)
Commençons par un lemme technique :
Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω, ,P). On suppose que l'on est dans l'un des deux cas suivants : et que X possède une espérance E(X). Dans ces conditions si X ≥ 0 alors E(X) ≥ 0.
Le résultat est évident dans le premier cas.
Dans le second cas il est clair que la fonction f est nulle sur ]-∞,0[ car si f(x0) > 0 pour un certain x0 <0 alors par continuité f sera positive sur un intervalle [a,b] contenant x0 et contenu dans ]-∞,0[ on aura donc
P ( X [ a , b ] ) = a b f ( x ) dx > 0
ce qui contredit X ≥ 0.
Nous supposons désormais que toutes les variables aléatoires considéres vérifient les conditions de notre lemme. De là nous tirons l'inégalité de Markov :
∀ a > 0 P ( X a ) E ( X ) a
Soit E l'évènement X≥a et soit Y la fonction caractéristique de E, alors Y est une variable aléatoire (nous l'avons vu comme exemple dans cette page) et E(Y)=P(E).
On a donc X ≥ aY.
C'est à dire encore X-aY ≥ 0.
D'où nous tirons E(X-aY) ≥ 0 d'après notre lemme.
Compte tenu des propriétés de l'espérance mathématique on a E(X-aY) = E(X)-aE(Y)
Donc E(X)-aE(Y) ≥ 0
Soit encore E(X)-aP(E) ≥ 0
ce qui nous donne l'inégalité cherchée.
L'inégalité de Markov possède un corollaire important :
Soit Φ une fonction croissante, continue, positive ou nulle sur l'intervalle I.
Soit Y une v.a. réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, ,P) et telle que l'image de Y soit contenue dans I.
Dans ces conditions
P ( Y b ) E ( Φ ( Y ) ) Φ ( b )
On applique l'inégalité de Markov à X=Φ(Y) et a = Φ(b).
Nous obtenons ainsi que ∀ b > 0
P ( Φ ( Y ) Φ ( b ) ) E ( Φ ( Y ) ) Φ ( b )
La croissance de Φ entraîne que :
{Y≥b} ⊆ {Φ(Y) ≥ Φ(b)}
Donc que
P(Y ≥ b) ≤ P(Φ(Y)≥Φ(b)).
De là nous tirons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, dont l' énoncé suit :
On suppose que X possède une espérance et une variance.
Dans ces conditions :
∀ α > 0
P ( X E ( X ) α ) v ( X ) α 2
La démonstration s'obtient en utilisant le corollaire avec Y=|X-E(X)|, I=[0,+∞[ et Φ(x)=x².